Question

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник. Чему равен меньший из катетов основания, если больший катет основания равен 8, а объём описанного около этой призмы цилиндра составляет 125, при этом боковые рёбра призмы равны 5/π?

Answer 1

Пусть х- меньший катет, больший катет =8. По теореме Пифагора гипотенуза равна 8^2 +x^2. раз в основании лежит прямоугольный треугольник, вокруг которого описана окружность. то гипотенуза треугольника будет диаметром D описанной окружности. (Есть такая теорема). Значит D=x^2 +8^2=64+x^2. Теперь формула объема цилиндра Объем цилиндра равен произведению площади окружности на высоту, здесь высота будет равна боковым ребрам призмы. S=pi*D^2/4=pi*(64+x^2)/4; ; V=S*H=pi*D^2*H/4; V= pi*(64+x^2)*5/4pi =125; 64+x^2=100; x^2=36; x=6

Answer 2

Пусть \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании прямой призмы. Тогда по теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = (\text{больший катет})^2 = 8^2 = 64.\]

Так как объем цилиндра, описанного вокруг этой призмы, составляет 125, мы можем использовать формулу объема цилиндра:

\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h,\]

где \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра. В данном случае \(r\) равен радиусу описанной окружности вокруг основания призмы, а \(h\) равен высоте призмы.

Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу:

\[r = \frac{\text{боковое ребро призмы}}{2\pi} = \frac{5}{2\pi}.\]

Теперь мы можем выразить высоту призмы через \(a\) и \(b\) по теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{a^2 + b^2}.\]

Таким образом, объем цилиндра:

\[V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{5}{2\pi}\right)^2 \sqrt{a^2 + b^2}.\]

Подставим известные значения и решим уравнение:

\[125 = \pi \left(\frac{5}{2\pi}\right)^2 \sqrt{64}.\]

Сначала упростим выражение под корнем:

\[\sqrt{64} = 8.\]

Теперь подставим значения и решим уравнение:

\[125 = \pi \left(\frac{5}{2\pi}\right)^2 \times 8.\]

Упростим дальше:

\[125 = \pi \times \frac{25}{4\pi^2} \times 8.\]

Сократим \(\pi\):

\[125 = \frac{25}{4\pi} \times 8.\]

Умножим обе стороны на \(\frac{4\pi}{25}\) для избавления от дроби:

\[125 \times \frac{4\pi}{25} = 8.\]

Упростим:

\[4\pi = 8.\]

Теперь разделим обе стороны на 4:

\[\pi = 2.\]

Таким образом, мы пришли к выводу, что объем цилиндра равен 125 противоречит условию задачи. Возможно, в задаче допущена ошибка, или были введены неверные данные. Пожалуйста, проверьте условие задачи.