Question

Исследовать функцию и построить ее график: Y=x/2 + 2/x

Answer 1

X≠0  вертикальная асимптота x=0.
y'=1/2-2/x²  критические точки
1/2=2/x²  x²=4  x=2   x=-2

------------------------2---------------------------2---------------------
              +                             -                                    +
возрастает x∈(-∞)(2;∞⊥4)
убывает  x∈(-2;2)

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим данную функцию и построим ее график. Функция, которую нужно исследовать, задана следующим образом: Y = x/2 + 2/x.

Исследование функции:

Для исследования функции, мы можем рассмотреть ее основные характеристики, такие как область определения, область значений, асимптоты, экстремумы и поведение функции на интервалах.

Область определения: Функция Y = x/2 + 2/x определена для всех значений x, кроме x = 0, так как в этом случае происходит деление на ноль.

Область значений: Чтобы определить область значений функции, мы можем рассмотреть ее поведение при различных значениях x. Поскольку функция содержит два слагаемых, каждое из которых может принимать положительные и отрицательные значения, область значений функции будет зависеть от соотношения между этими слагаемыми. При x -> ∞, второе слагаемое 2/x стремится к нулю, и функция стремится к положительной бесконечности. При x -> -∞, второе слагаемое также стремится к нулю, и функция стремится к отрицательной бесконечности. Таким образом, область значений функции Y = x/2 + 2/x включает в себя все действительные числа, кроме нуля.

Асимптоты: Асимптоты - это линии, которые функция приближается, но никогда не пересекает. Для функции Y = x/2 + 2/x мы можем найти горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Горизонтальная асимптота: При x -> ±∞, функция стремится к горизонтальной асимптоте y = 0. Это можно увидеть, учитывая, что при больших значениях x, второе слагаемое 2/x стремится к нулю, и функция приближается к y = x/2.

Вертикальная асимптота: Функция имеет вертикальную асимптоту x = 0. Это связано с тем, что функция не определена при x = 0, так как происходит деление на ноль.

Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы можем проанализировать ее производную. Производная функции Y = x/2 + 2/x равна Y' = 1/2 - 2/x^2. Чтобы найти точки экстремума, мы должны найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная равна нулю при x = ±√4, а также не существует при x = 0. Подставляя эти значения обратно в исходную функцию, мы можем найти соответствующие значения Y.

Построение графика:

Теперь, когда мы исследовали функцию, давайте построим ее график, чтобы визуально представить ее поведение.


На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = 0. Она также имеет точки экстремума при x = ±√4.

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.