Question

log_2 ((3x-2)/(x-1)) + 3log_8 ((x-1)^3/(3x-2))<1

Answer 1

$log_2 ((3x-2)/(x-1)) + 3log_8 ((x-1)^3/(3x-2))<1\\ log_2(3x-2)-log_2(x-1)+log_2((x-1)^3/(3x-2))<1\\ log_2(3x-2)-log_2(x-1)+3log_2(x-1)-log_2(3x-2)<1\\ 2log_2(x-1)<1\\ log_2(x-1)<1/2\\ x-1<2^{1/2}\\ x<1+2^{1/2}$

Answer 2

применены формулы логарифма дроби, логарифма степени.

И в таких заданиях необходима ОДЗ, и полученное решение надо согласовывать с ОДЗ

Answer 3

Конечно, я помогу разобраться с этим неравенством. Давай начнем с раскрытия логарифмических выражений.

У нас есть неравенство:

\[ \log_2\left(\frac{3x - 2}{x - 1}\right) + 3\log_8\left(\frac{(x - 1)^3}{3x - 2}\right) < 1 \]

Первым шагом можно преобразовать логарифмы с разными основаниями к одному основанию. Используем свойство изменения основания логарифма:

\[ \log_8 = \frac{\log_2}{\log_2 8} = \frac{\log_2}{3} \]

Подставим это в исходное уравнение:

\[ \log_2\left(\frac{3x - 2}{x - 1}\right) + 3 \cdot \frac{\log_2((x - 1)^3) - \log_2(3x - 2)}{3} < 1 \]

Далее, можно упростить и объединить логарифмы, используя свойства логарифмов:

\[ \log_2\left(\frac{3x - 2}{x - 1}\right) + \log_2((x - 1)^3) - \log_2(3x - 2) < 1 \]

Теперь используем свойство логарифмов, сумма логарифмов равна логарифму произведения:

\[ \log_2\left(\frac{(3x - 2)(x - 1)^3}{(3x - 2)(x - 1)}\right) < 1 \]

\[ \log_2\left(\frac{(x - 1)^3}{x - 1}\right) < 1 \]

\[ \log_2((x - 1)^2) < 1 \]

Теперь выразим это без логарифма:

\[ (x - 1)^2 < 2 \]

Раскроем квадрат:

\[ x^2 - 2x + 1 < 2 \]

\[ x^2 - 2x - 1 < 0 \]

Это квадратное неравенство можно решить с помощью метода интервалов или, например, с помощью дискриминанта квадратного уравнения.

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \), который больше нуля, значит, у нас есть два корня.

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 2x - 1 < 0 \) это \( 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \).

Теперь нужно убедиться, что это решение подходит для исходного неравенства. Помни, что логарифмы определены только для положительных значений внутри них. Поэтому при решении квадратного неравенства мы учли это условие.

Надеюсь, это помогло!