Question

Решить неравенство 2х в кубе - х в квадрате - х меньше 0

Answer 1

Получится вот так :)

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(2x^3 - x^2 - x < 0\), мы должны найти интервалы значений \(x\), для которых неравенство выполняется. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

1. Находим корни уравнения: Начнем с нахождения корней уравнения \(2x^3 - x^2 - x = 0\). Уравнение может быть представлено в виде: \[ x(2x^2 - x - 1) = 0 \]

Уравнение имеет три множителя: - \(x = 0\) - \(2x^2 - x - 1 = 0\)

Далее решим уравнение \(2x^2 - x - 1 = 0\) с использованием квадратного уравнения или других методов:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\).

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \]

Получаем два значения: - \(x = \frac{1 + 3}{4} = 1\) - \(x = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, корни уравнения: \(x = 0, x = 1, x = -\frac{1}{2}\).

2. Используем интервалы между корнями: Разобъем ось \(x\) на интервалы, ограниченные найденными корнями. Это интервалы между \(-\infty\) и \(-\frac{1}{2}\), между \(-\frac{1}{2}\) и \(0\), между \(0\) и \(1\), и после \(1\).

3. Выбираем тестовую точку в каждом интервале: Выберем точку из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения \(2x^3 - x^2 - x\).

- В интервале \((-\infty, -\frac{1}{2})\) выберем \(x = -1\), например. \[ 2(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) = -2 - 1 + 1 = -2 \] - В интервале \((-1/2, 0)\) выберем \(x = -\frac{1}{4}\). \[ 2\left(-\frac{1}{4}\right)^3 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{32} \] - В интервале \((0, 1)\) выберем \(x = \frac{1}{2}\). \[ 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \] - В интервале \((1, +\infty)\) выберем \(x = 2\). \[ 2(2)^3 - (2)^2 - 2 = 8 - 4 - 2 = 2 \]

4. Собираем результаты: Теперь мы видим, в каких интервалах выражение \(2x^3 - x^2 - x\) отрицательно (\(< 0\)): - \((-\infty, -\frac{1}{2})\) - \((0, 1)\)

Значит, неравенство \(2x^3 - x^2 - x < 0\) выполняется для \(x\) в этих интервалах.