Question

Решите уравнение: 5^(2x-1)+5^(x+1)=250

Answer 1

5^(2x-1)+5^(x+1)=250

Answer 2

Давайте решим уравнение 5^(2x-1) + 5^(x+1) = 250.

Для начала, давайте заменим 5^(2x-1) и 5^(x+1) на их эквивалентные значения:

5^(2x-1) + 5^(x+1) = 250 (5^2)^x * 5^(-1) + 5^x * 5^1 = 250 25^x * 1/5 + 5 * 5^x = 250

Теперь, объединим дробные части:

1/5 * 25^x + 5 * 5^x = 250

Для решения этого уравнения, давайте заменим 25 на 5^2:

1/5 * (5^2)^x + 5 * 5^x = 250 1/5 * 5^(2x) + 5 * 5^x = 250

Теперь, объединим слагаемые с одинаковыми основаниями:

1/5 * 5^(2x) + 5 * 5^x = 250 1/5 * 5^(2x) + 5^(x+1) = 250

Теперь, у нас есть одно основание, поэтому мы можем объединить коэффициенты:

(1/5 + 1) * 5^x = 250 6/5 * 5^x = 250

Теперь, давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на 5/6:

(6/5 * 5^x) * (5/6) = 250 * (5/6) 5^x = 250 * (5/6) 5^x = 1250/6

Теперь, чтобы решить уравнение, мы возьмем логарифм от обеих сторон. Давайте возьмем натуральный логарифм (ln):

ln(5^x) = ln(1250/6)

Теперь, мы можем использовать свойство логарифма, чтобы перенести показатель степени вперед:

x * ln(5) = ln(1250/6)

Теперь, делим обе стороны на ln(5):

x = ln(1250/6) / ln(5)

Таким образом, решение уравнения 5^(2x-1) + 5^(x+1) = 250 равно:

x = ln(1250/6) / ln(5)

Подставив это значение x обратно в исходное уравнение, мы можем проверить его корректность.