Question

√2sinx+√2cosx=0 3cos в квадрате х - sin2x=0,5 Решите, пожалуйста, однородные уравнения, если можно, то подробно, не могу разобраться

Answer 1

$1)\; \; \sqrt2sinx-\sqrt2cosx=0\; |:cosx\ne 0\\\\\sqrt2tgx-\sqrt2=0\\\\tgx=1\\\\x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z\\\\2)\; \; 3cos^2x-sin2x=0,5\\\\3cos^2x-2sinx\cdot cosx=0,5(sin^2x+cos^2x)\\\\\frac{5}{2}cos^2x-2sinx\cdot cosx-\frac{1}{2}sin^2x=0\; |:cos^2x\ne 0\\\\\frac{5}{2}-2tgx-\frac{1}{2}tg^2x=0\; |\cdot (-2)\\\\tg^2x+4tgx-5=0\\\\(tgx)_1=-5\; ,\; \; (tgx)_2=1\\\\x_1=arctg(-5)+\pi n=-arctg5+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x_2=arctg1+\pi k=\frac{\pi}{4}+\pi k\; ,\; k\in Z$

Answer 2

Данное уравнение содержит несколько сложных тригонометрических функций, и чтобы решить его, мы должны применить определенные методы и преобразования. Разберемся подробнее.

Первое уравнение: √2sinx + √2cosx = 0

Для начала, заметим, что √2 можно вынести за скобку, получив √2 (sinx + cosx) = 0. Теперь мы имеем произведение двух множителей, равное нулю.

Так как √2 ≠ 0, то это значит, что (sinx + cosx) = 0.

Теперь перейдем ко второму уравнению: 3cos²x - sin2x = 0,5

Для удобства, заменим sin2x на 2sinx*cosx. Получим: 3cos²x - 2sinx*cosx = 0,5.

Теперь объединим два уравнения:

(sin x + cos x)(3cos x - 2sin x) = 0,5.

Мы получили произведение двух множителей, равное 0,5.

Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно:

1) sin x + cos x = 0

Для решения этого уравнения, мы можем применить следующее тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1.

Если мы возведем нашу первоначальную сумму sin x + cos x в квадрат, мы получим: (sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x cos x + cos²x = 1.

Теперь заменим sin²x + cos²x на 1: 1 + 2sin x cos x = 1.

Упростим это уравнение: 2sin x cos x = 0.

Отсюда мы получаем два возможных решения:

a) sin x = 0, cos x ≠ 0 b) sin x ≠ 0, cos x = 0

2) 3cos x - 2sin x = 0,5

Это уравнение содержит как cos x, так и sin x. Для его решения, мы можем воспользоваться делением уравнения на cos x (если cos x ≠ 0) или на sin x (если sin x ≠ 0).

Рассмотрим два случая:

a) cos x ≠ 0:

3cos x - 2sin x = 0,5

Разделим уравнение на cos x:

3 - 2tan x = 0,5/cos x

Упростим это уравнение:

3 - 2tan x = sec x/2

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически.

b) sin x ≠ 0:

3cos x - 2sin x = 0,5

Разделим уравнение на sin x:

3sin x/sin x - 2 = 0,5/sin x

Упростим это уравнение:

3 - 2cot x = csc x/2

Теперь мы можем решить это уравнение численно или графически.

Таким образом, мы разобрали основные шаги для решения данного уравнения. Однако, для получения конкретных численных решений, требуется дополнительный анализ и использование методов численного решения уравнений.