Question

Найдите два числа, сумма которых равна 82, а произведение - наибольшое из возможных.

Answer 1

Наибольшое из возможных - квадрат наибольшего числа в соответствии с условием, что сумма равна 82. Тогда эти числа 41 и 41, при этом их произведение равно 1681.

Answer 2

Сумма 41+41=82 произведение 41x41=1681

Answer 3

Чтобы найти два числа, сумма которых равна 82, а произведение максимально, нужно использовать метод оптимизации. Обозначим эти два числа как \( x \) и \( y \). Условие задачи можно представить в виде уравнения и неравенства:

1. Сумма чисел: \( x + y = 82 \) 2. Максимизация произведения: \( xy \) - максимально

Давайте решим эту задачу. Используем первое уравнение для выражения \( y \) через \( x \):

\[ y = 82 - x \]

Теперь подставим это выражение во второе условие:

\[ P = xy = x(82 - x) \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое нужно максимизировать. Для нахождения максимального значения \( P \), найдем вершину параболы, заданной этим уравнением. Вершина параболы с координатами \( (h, k) \) имеет координаты \( h = -\frac{b}{2a} \) и \( k = f(h) \), где уравнение параболы имеет вид \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

В нашем случае:

\[ P = x(82 - x) \]

Где \( a = -1 \), \( b = 82 \), \( c = 0 \). Теперь найдем вершину:

\[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{82}{2(-1)} = 41 \]

Таким образом, одно из чисел \( x \) равно 41. Теперь найдем \( y \) с использованием уравнения \( x + y = 82 \):

\[ y = 82 - x = 82 - 41 = 41 \]

Таким образом, два числа, сумма которых равна 82, а произведение максимально, равны 41 и 41.