Question

помогиите Вычислить пределы про правилу Лопиталя:1)lim x---0 __1-cos5x_______ 1-cos3x2)lim x---к бесконечности__8x-3x квадрат+2______ 10-x+x квадрат

Answer 1

=$\lim_{x \to \0} (sin5x)/(sin3x)*5/3= 5/3 \lim_{x \to \0} 5cos5x/3cos3x=5/3*5/3=25/9$
2) $\lim_{x \to \infty} (8-6x) /(-1+2x)= \lim_{x \to \infty} (-6)/2=-3$

Answer 2

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

Правило Лопиталя — это метод для вычисления пределов функций, когда применение стандартных методов, таких как подстановка или разложение в ряд Тейлора, не дает определенного результата. Это правило основано на использовании производных функций и позволяет упростить вычисление некоторых пределов.

Давайте рассмотрим каждый из ваших примеров по отдельности и вычислим пределы с помощью правила Лопиталя.

Пример 1: lim(x→0) (1 - cos(5x)) / (1 - cos(3x^2))

Для начала, проверим, выполнены ли условия применимости правила Лопиталя. В данном случае, нам нужно убедиться, что предел знаменателя равен нулю и предел числителя также равен нулю или бесконечности.

lim(x→0) (1 - cos(3x^2)) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0

lim(x→0) (1 - cos(5x)) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0

Таким образом, оба предела равны нулю, и мы можем применить правило Лопиталя.

Для этого, найдем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения.

Найдем производную числителя:

d/dx (1 - cos(5x)) = 5sin(5x)

Найдем производную знаменателя:

d/dx (1 - cos(3x^2)) = -6xsin(3x^2)

Теперь вычислим предел нового отношения производных:

lim(x→0) (5sin(5x)) / (-6xsin(3x^2))

У нас все еще остается нулевой предел в знаменателе, поэтому мы можем снова применить правило Лопиталя.

Найдем производную числителя нового отношения:

d/dx (5sin(5x)) = 25cos(5x)

Найдем производную знаменателя нового отношения:

d/dx (-6xsin(3x^2)) = -6sin(3x^2) - 12x^2cos(3x^2)

Теперь вычислим предел нового отношения производных:

lim(x→0) (25cos(5x)) / (-6sin(3x^2) - 12x^2cos(3x^2))

Теперь предел не равен нулю ни в числителе, ни в знаменателе, и мы можем вычислить его подставив x = 0:

lim(x→0) (25cos(5x)) / (-6sin(3x^2) - 12x^2cos(3x^2)) = (25cos(0)) / (-6sin(0) - 12(0)^2cos(0)) = 25 / 0

Здесь возникает проблема, так как мы получаем деление на ноль. Это означает, что данный предел не существует.

Пример 2: lim(x→∞) (8x - 3x^2) / (10 - x + x^2)

Для начала, проверим, выполнены ли условия применимости правила Лопиталя. В данном случае, нам нужно убедиться, что предел знаменателя равен бесконечности и предел числителя также равен бесконечности или минус бесконечности.

lim(x→∞) (8x - 3x^2) = ∞

lim(x→∞) (10 - x + x^2) = ∞

Оба предела равны бесконечности, и мы можем применить правило Лопиталя.

Для этого, найдем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения.

Найдем производную числителя:

d/dx (8x - 3x^2) = 8 - 6x

Найдем производную знаменателя:

d/dx (10 - x + x^2) = -1 + 2x

Теперь вычислим предел нового отношения производных:

lim(x→∞) (8 - 6x) / (-1 + 2x)

У нас все еще остается бесконечный предел в числителе и знаменателе, поэтому мы можем снова применить правило Лопиталя.

Найдем производную числителя нового отношения:

d/dx (8 - 6x) = -6

Найдем производную знаменателя нового отношения:

d/dx (-1 + 2x) = 2

Теперь вычислим предел нового отношения производных:

lim(x→∞) (-6) / (2) = -3

Таким образом, предел данной функции при x стремящемся к бесконечности равен -3.