Question

Знайти проміжки зростання і спадання y=x⁴+4x²⁻8x²⁺3, y=x+1/x Знайти екстремуми y=-x⁴+5x²-4, y=x²-3x²+1

Answer 1

1)Твой пример очень легко Читай книгу, и ты сам поймеш! 2)у=х^4+4х^28х^23 не понятно!

Answer 2

Для находження проміжків зростання та спадання функцій та знаходження екстремумів використовуються перші та другі похідні. Давайте розглянемо кожну з функцій окремо.

1. Функція y = x⁴ + 4x² - 8x² + 3:

a. Знайдемо першу похідну: \[ y' = 4x³ + 8x - 16x = 4x³ - 8x² \] b. Знайдемо критичні точки, де \(y' = 0\): \[ 4x³ - 8x² = 0 \] \[ 4x²(x - 2) = 0 \] Звідси отримуємо \(x = 0\) та \(x = 2\) як критичні точки. c. Знайдемо проміжки зростання та спадання за допомогою знаків похідної: Підставимо відомі точки та інші точки з кожного інтервалу в \(y'\) і визначимо їхні знаки: - Для \(x < 0\): \(y'(-1) = -4 - 8 < 0\) (спадання). - Для \(0 < x < 2\): \(y'(1) = 4 - 8 < 0\) (спадання). - Для \(x > 2\): \(y'(3) = 36 - 72 < 0\) (спадання).

Таким чином, функція спадає на відрізках \((-∞, 0)\), \((0, 2)\) та \((2, +∞)\).

2. Функція y = x + 1/x:

a. Знайдемо першу похідну: \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \] b. Знайдемо критичні точки, де \(y' = 0\): \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ x^2 = 1 \] Звідси отримуємо \(x = 1\) та \(x = -1\) як критичні точки. c. Знайдемо проміжки зростання та спадання за допомогою знаків похідної: Підставимо відомі точки та інші точки з кожного інтервалу в \(y'\) і визначимо їхні знаки: - Для \(x < -1\): \(y'(-2) = 1 - \frac{1}{4} > 0\) (зростання). - Для \(-1 < x < 1\): \(y'(0) = 1 > 0\) (зростання). - Для \(x > 1\): \(y'(2) = 1 - \frac{1}{4} > 0\) (зростання).

Таким чином, функція зростає на відрізках \((-∞, -1)\) та \((1, +∞)\), а спадає на відрізку \((-1, 1)\).

3. Функція y = -x⁴ + 5x² - 4:

a. Знайдемо першу та другу похідні: \[ y' = -4x³ + 10x \] \[ y'' = -12x² + 10 \] b. Знайдемо критичні точки, де \(y' = 0\): \[ -4x³ + 10x = 0 \] \[ 2x(5 - 2x²) = 0 \] Звідси отримуємо \(x = 0\), \(x = \sqrt{5/2}\) та \(x = -\sqrt{5/2}\) як критичні точки. c. Знайдемо проміжки зростання та спадання за допомогою знаків похідної: Підставимо відомі точки та інші точки з кожного інтервалу в \(y'\) і визначимо їхні знаки: - Для \(x < -\sqrt{5/2}\): \(y'(-2) = -4(-\sqrt{5/2})³ - 10\sqrt{5/2} < 0\) (спадання). - Для \(-\sqrt{5/2} < x < 0\): \(y'(-1) = 4(-\sqrt{5/2})³ + 10\sqrt{5/2} > 0\) (зростання). - Для \(0 < x < \sqrt{5/2}\): \(y'(1) = 4(\sqrt{5/2})³ - 10\sqrt{5/2} > 0\) (зростання). - Для \(x > \sqrt{5/2}\): \(y'(2) = -4(\sqrt{5/2})³ + 10\sqrt{5/2} < 0\) (спадання).

d. Знайдемо точки перегину за допомогою другої похідної: В