Question

2)Числа p,k,n рациональные. Покажите, что корни уравнения (p+k+n)x²-2(p+k)x+(p+k-n)=0 являются рациональными числами

Answer 1

Утверждение НЕВЕРНО: не при всех рациональных p, k, n все корни этого уравнения - рациональные числа.

Случай 1. p + k + n = 0
-2(p + k) x + (p + k - n) = 0
Случай 1а. p + k ≠ 0
x = (p + k - n)/(2 (p + k)) - рациональное цисло
Случай 1б. p + k = 0 (тогда автоматически n = 0) и решение уравнения - все ВЕЩЕСТВЕННЫЕ числа, а не только рациональные.

Случай 2. p + k + n ≠ 0
Обычное квадратное уравнение. Тут корни проще просто выписать явно.
D/4 = (p + k)^2 - (p + k + n)(p + k - n) = (p + k)^2 - ((p + k)^2 - n^2) = n^2
x = (p + k +- n)/(p + k + n) - рациональное число

Answer 2

Чтобы показать, что корни уравнения являются рациональными числами, мы должны воспользоваться свойствами рациональных чисел и решить уравнение.

Уравнение имеет вид: (p+k+n)x² - 2(p+k)x + (p+k-n) = 0.

Решение уравнения:

1. Начнем с нахождения дискриминанта (D) уравнения. Дискриминант определяет тип корней уравнения. Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле D = b² - 4ac.

В нашем случае, a = (p+k+n), b = -2(p+k), и c = (p+k-n). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = (-2(p+k))² - 4(p+k+n)(p+k-n)

2. Теперь, чтобы показать, что корни уравнения являются рациональными, мы должны доказать, что дискриминант D является квадратом рационального числа.

Если D является квадратом рационального числа, то его корни также будут рациональными.

Доказательство:

1. Вычислим дискриминант D и упростим его выражение:

D = (-2(p+k))² - 4(p+k+n)(p+k-n)

= 4(p+k)² - 4(p+k+n)(p+k-n)

= 4(p+k)² - 4(p+k)² + 4n(p+k) - 4n(p+k) + 4n²

= 4n²

2. Заметим, что D = 4n² является квадратом рационального числа (2n)².

Таким образом, мы доказали, что дискриминант D является квадратом рационального числа. Следовательно, корни уравнения (p+k+n)x² - 2(p+k)x + (p+k-n) = 0 также являются рациональными числами.