Question

Помогите решить |2x - x² + 3| = 2

Answer 1

Раскрываем модуль:
$1) 2x-x^2+3=2,\ 2x-x^2+3 \geq 0 \\-x^2+2x+1=0 \\x^2-2x-1=0 \\D=4+4=8=(2\sqrt{2})^2 \\x_1= \frac{2+2\sqrt{2}}{2} =1+\sqrt{2} \\x_2=1-\sqrt{2} \\\sqrt{2} \approx1,4 \\x_1 \approx 1+1,4=2,4 \\x_2\approx 1-1,4=-0,4 \\2*2,4-2,4^2+3 \geq 0; \ 7,8-5,76 \geq 0 \\2*(-0,4)-(-0,4)^2+3 \geq 0;\ -0,8-0,16+3 \geq 0$
- верно, значит x1 и x2 являются корнями уравнения
$2)2x-x^2+3=-2,\ 2x-x^2+3 \leq 0 \\-x^2+2x+5=0 \\x^2-2x-5=0 \\D=4+20=24=(2\sqrt{6})^2 \\x_3= \frac{2+2\sqrt{6}}{2} =1+\sqrt{6} \\x_4=\frac{2-2\sqrt{6}}{2}= 1-\sqrt{6} \\\sqrt{6} \approx 2,4 \\x_3 \approx 1+2,4=3,4 \\x_4\approx 1-2,4=-1,4 \\2*3,4-3,4^2+3 \leq 0;\ 9,8-11,56 \leq 0 \\-1,4*2-(-1,4)^2+3 \leq 0;\ 0,2-1,96 \leq 0$
- верно, значит x3 и x4 являются корнями уравнения
В итоге получим, что уравнение имеет 4 корня.
Ответ: $x_1=1+\sqrt{2};\ x_2=1-\sqrt{2};\ x_3=1+\sqrt{6};\ x_4=1-\sqrt{6}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем применить несколько шагов. Первым шагом будет переписать уравнение в виде:

|2x - x² + 3| = 2

Разложение модуля

В данном уравнении мы имеем модуль |2x - x² + 3|. Чтобы упростить его, нам нужно разделить его на два случая: один, когда выражение внутри модуля положительно, и другой, когда оно отрицательно. Таким образом, мы получаем два уравнения:

2x - x² + 3 = 2 (случай 1) и -(2x - x² + 3) = 2 (случай 2)

Решение случая 1

Рассмотрим первое уравнение: 2x - x² + 3 = 2. Чтобы решить его, нам нужно привести его к квадратному уравнению. Для этого перенесем все термы на одну сторону и приведем его к виду:

x² - 2x + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -2 и c = 1. Подставляя значения, получаем:

x = (-(-2) ± √((-2)² - 4(1)(1))) / (2(1)) = (2 ± √(4 - 4)) / 2 = (2 ± √(0)) / 2

Так как у нас получается корень квадратный из нуля, то это означает, что у нас есть один корень с двойной кратностью. Итак, решение для случая 1 будет:

x = 1

Решение случая 2

Теперь рассмотрим второе уравнение: -(2x - x² + 3) = 2. Чтобы решить его, мы можем просто изменить знаки внутри скобок и упростить его:

-2x + x² - 3 = 2

Переносим все термы на одну сторону и приводим уравнение к следующему виду:

x² - 2x - 5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -2 и c = -5. Подставляя значения, получаем:

x = (-(-2) ± √((-2)² - 4(1)(-5))) / (2(1)) = (2 ± √(4 + 20)) / 2 = (2 ± √(24)) / 2 = (2 ± 2√(6)) / 2

Мы можем упростить это дальше, разделив на 2:

x = 1 ± √(6)

Таким образом, решение для случая 2 будет:

x = 1 + √(6) и x = 1 - √(6)

Итоговые решения

Итак, мы получили два набора решений для нашего уравнения:

x = 1 (случай 1) и x = 1 + √(6) и x = 1 - √(6) (случай 2)

Пожалуйста, обратите внимание, что это решения, полученные путем разложения модуля на два случая. Проверьте эти значения, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они являются действительными решениями.