Question

Разложите на множители трёхчлен:x^5+x^4+1 и a^5+a+1

Answer 1

X^5+x^4+1= (x^2+x+1)*(x^3-x+1)

а^5+а+1=(а^2+a+1)*(a^3-a^2+1)

Answer 2

Давайте разложим оба трёхчлена на множители.

1. Разложение на множители трёхчлена \(x^5 + x^4 + 1\):

Сначала обратим внимание на структуру данного трёхчлена. Мы видим, что степени \(x\) убывают от наивысшей (5) до нулевой. Это может намекать на то, что у нас есть какой-то паттерн, связанный с корнями из единицы.

Мы знаем, что существует комплексный корень из единицы, который обозначается через \( \omega \) и удовлетворяет уравнению \( \omega^3 = 1 \) (и, следовательно, \( \omega^3 - 1 = 0 \)). Таким образом, мы можем записать:

\[ \omega^3 - 1 = 0 \]

Теперь, чтобы учесть степени \(x\) в нашем трёхчлене, мы заменяем \( \omega \) на \( x \):

\[ x^3 - 1 = 0 \]

Теперь давайте умножим это уравнение на \(x^2 + x + 1\) (это произведение можно получить делением \(x^5 + x^4 + 1\) на \(x^3 - 1\)):

\[ (x^3 - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ x^5 + x^4 + x^3 - x^2 - x - 1 = 0 \]

Таким образом, трёхчлен \(x^5 + x^4 + 1\) можно разложить на множители как \((x^3 - 1)(x^2 + x + 1)\).

2. Теперь рассмотрим трёхчлен \(a^5 + a + 1\):

Аналогично, давайте воспользуемся корнями из единицы. Если \(\omega\) - корень уравнения \(\omega^3 - 1 = 0\), то \(\omega^3 = 1\). Заменяя \(\omega\) на \(a\), мы получаем:

\[ a^3 - 1 = 0 \]

Теперь умножим это уравнение на \(a^2 + a + 1\):

\[ (a^3 - 1)(a^2 + a + 1) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ a^5 + a^4 + a^3 - a^2 - a - 1 = 0 \]

Таким образом, трёхчлен \(a^5 + a + 1\) можно разложить на множители как \((a^3 - 1)(a^2 + a + 1)\).

Итак, оба трёхчлена разложены на множители:

1. \(x^5 + x^4 + 1\) разлагается как \((x^3 - 1)(x^2 + x + 1)\). 2. \(a^5 + a + 1\) разлагается как \((a^3 - 1)(a^2 + a + 1)\).