Question

Найти производную функции y=1+cosx/1-cosx

Answer 1

(-sinx(1-cosx)-(1+cosx)sinx)/(1-cosx)^2=

=(-sinx+sinxcosx-sinx-sinxcosx)/(1-cosx)^2=-2sinx/(1-cosx)^2

 

Answer 2

Давайте найдем производную функции \(y = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}\).

Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Обозначим данную функцию как \(f(x)\):

\[f(x) = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}\]

Применим правило деления функций:

\[f'(x) = \frac{(1 - \cos x) \cdot (0) - (1 + \cos x) \cdot (-\sin x)}{(1 - \cos x)^2}\]

Упростим числитель:

\[f'(x) = \frac{\sin x + \sin x}{(1 - \cos x)^2}\]

\[f'(x) = \frac{2 \sin x}{(1 - \cos x)^2}\]

Теперь упростим выражение в числителе и знаменателе:

\[f'(x) = \frac{2 \sin x}{(1 - \cos x)^2} \cdot \frac{(1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)^2}\]

\[f'(x) = \frac{2 \sin x (1 + \cos x)^2}{(1 - \cos x)^2 (1 + \cos x)^2}\]

Упростим еще немного:

\[f'(x) = \frac{2 \sin x (1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}\]

Теперь отметим, что \((1 + \cos x)\) сокращается в числителе и знаменателе:

\[f'(x) = \frac{2 \sin x}{1 - \cos x}\]

Это является производной функции \(f(x) = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}\) по переменной \(x\).