Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х2 + 2х - 2 на отрезке [-2;2]

Answer 1

Находим производную функции: (x2 + 2x - 2)' = (x2)' + (2x)' + (-2)' = (2x) + 2 = 2x + 2

Находим точки, в которых производная равна нулю: 2x + 2 = 0; x = -1

Значение лежит в промежутке [-2;2].

y(-1) = -3

Ответ: -3.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у = х² + 2х - 2 на отрезке [-2;2], мы можем применить несколько подходов. Один из способов - это использование метода дифференциального исчисления, а другой - графический анализ.

Метод дифференциального исчисления

Для начала, найдем производную функции у по переменной х. Производная позволяет нам найти точки экстремума (максимума и минимума) функции, где ее значение может быть наибольшим или наименьшим.

У = х² + 2х - 2 У' = 2х + 2

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

2х + 2 = 0 2х = -2 х = -1

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума, где x = -1.

Далее, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, мы можем взять вторую производную и оценить ее знак:

У'' = 2

Поскольку вторая производная положительная (2 > 0), мы можем сделать вывод, что точка x = -1 представляет собой точку минимума функции.

Теперь, чтобы найти значения функции в концах отрезка [-2;2], мы подставим эти значения в функцию y = х² + 2х - 2:

y(-2) = (-2)² + 2*(-2) - 2 = 4 - 4 - 2 = -2 y(2) = 2² + 2*2 - 2 = 4 + 4 - 2 = 6

Таким образом, наибольшее значение функции равно 6, а наименьшее значение равно -2.

Графический анализ

Другим способом найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х² + 2х - 2 на отрезке [-2;2] является графический анализ. Мы можем построить график функции и определить точки, где y-координата наибольшая и наименьшая.


Из графика видно, что наибольшее значение функции достигается в точке x = 2, где y = 6, а наименьшее значение достигается в точке x = -1, где y = -2.

Таким образом, результаты, полученные с помощью метода дифференциального исчисления и графического анализа, совпадают: наибольшее значение функции равно 6, а наименьшее значение равно -2 на отрезке [-2;2].