Question

Sin4x+ctg2x*cos4x=cos2x

Answer 1

Решение во вложения,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

\[ \sin(4x) \cdot \cot^2(2x) \cdot \cos(4x) = \cos(2x) + \]

Первым шагом давайте представим \(\cot^2(2x)\) через \(\cos(2x)\) и \(\sin(2x)\), так как \(\cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\):

\[ \sin(4x) \cdot \left(\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\right)^2 \cdot \cos(4x) = \cos(2x) + \]

Теперь упростим уравнение, учитывая, что \(\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1\):

\[ \sin(4x) \cdot \frac{\cos^2(2x)}{\sin(2x)} \cdot \cos(4x) = \cos(2x) + \]

\[ \sin(4x) \cdot \cos(2x) \cdot \cos(4x) = \sin(2x) + \]

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]\):

\[ \frac{1}{2}[\sin(6x) + \sin(2x)] = \sin(2x) + \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ \sin(6x) + \sin(2x) = 2 \sin(2x) + \]

Вычитаем \(2 \sin(2x)\) из обеих сторон:

\[ \sin(6x) - \sin(2x) = 0 \]

Теперь, воспользуемся разностью синусов: \(\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\). В данном случае \(a = 6x\) и \(b = 2x\):

\[ 2 \cos\left(\frac{6x+2x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 0 \]

Упрощаем выражение:

\[ 2 \cos(4x) \cdot \sin(2x) = 0 \]

Теперь у нас есть два множителя. Уравнение будет равным нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \(\cos(4x) = 0\) 2. \(\sin(2x) = 0\)

Давайте решим каждое уравнение отдельно.

1. \(\cos(4x) = 0\) имеет корни при \(4x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n\) - целое число. Решение этого уравнения: \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}\).

2. \(\sin(2x) = 0\) имеет корни при \(2x = n\pi\), где \(n\) - целое число. Решение этого уравнения: \(x = \frac{n\pi}{2}\).

Таким образом, общее решение уравнения \(\sin(4x) \cdot \cot^2(2x) \cdot \cos(4x) = \cos(2x)\) будет:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} \quad \text{или} \quad x = \frac{n\pi}{2} \]

где \(n\) - целое число.