Question

И с этим, не проходите мимо! Log(x^-2) (x+2)>-1

Answer 1

(x+2)>-1
Переносим 2 в правую чать неравенства с противоположным знаком:
X>-1-2 ==> x>-3

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала нужно найти область определения, в которой неравенство будет выполняться. В данном случае, выражение внутри логарифма должно быть положительным, поскольку логарифм определен только для положительных чисел.

Нахождение области определения

Выражение внутри логарифма, x^-2, будет положительным, если x не равно нулю. Значит, область определения будет выглядеть следующим образом:

Область определения: x ≠ 0

Решение неравенства

Теперь мы можем решить неравенство в данной области определения. Для начала, давайте избавимся от логарифма, возведя обе части неравенства в экспоненту:

e^(log(x^-2) + (x+2)) > e^(-1)

Теперь мы можем упростить это выражение. Помните, что e^log(a) = a, поэтому логарифм и экспонента взаимно уничтожают друг друга:

x^-2 * (x+2) > e^(-1)

Используя правила алгебры, раскроем скобки:

(x^-2 * x) + (x^-2 * 2) > e^(-1)

x^(-2+1) + 2x^(-2) > e^(-1)

x^(-1) + 2x^(-2) > e^(-1)

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Чтобы решить его, давайте приведем его к общему виду:

2x^(-2) + x^(-1) - e^(-1) > 0

Решение квадратного неравенства

Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать метод замены переменных. Давайте сделаем замену y = x^(-1), тогда наше неравенство примет вид:

2y^2 + y - e^(-1) > 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Решение может быть найдено с использованием формулы дискриминанта или графически.

Решение квадратного уравнения

Формула дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0:

Дискриминант (D) = B^2 - 4AC

Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.

В данном случае, у нас есть квадратное уравнение 2y^2 + y - e^(-1) = 0. Вычислим дискриминант:

D = 1 - 4 * 2 * (-e^(-1)) = 1 + 8e^(-1)

Теперь, в зависимости от значения дискриминанта, мы можем определить, сколько корней имеет наше уравнение.

Значение дискриминанта

D > 0: Уравнение имеет два различных вещественных корня. D = 0: Уравнение имеет один вещественный корень. D < 0: Уравнение не имеет вещественных корней.

Если у нас есть два различных вещественных корня, то неравенство будет выполняться в интервалах между корнями.

Примеры решения

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы наглядно показать процесс решения.

Пример 1: Пусть D > 0

Предположим, что D > 0 и наше квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня y1 и y2. Тогда неравенство будет выполняться в интервалах (-∞, y1) и (y2, +∞).

Пример 2: Пусть D = 0

Предположим, что D = 0 и наше квадратное уравнение имеет один вещественный корень y. Тогда неравенство будет выполняться в интервале (-∞, y) или (y, +∞).

Пример 3: Пусть D < 0

Предположим, что D < 0 и наше квадратное уравнение не имеет вещественных корней. Тогда неравенство не будет выполняться ни в каких интервалах.

Вывод

Для полного решения данного неравенства, необходимо вычислить значение дискриминанта, определить количество корней и использовать эти значения для определения интервалов, в которых неравенство будет выполняться.