Question

3x-1/x-2-x-1/1+x=0 Решите уравнения: x/x²-x+2/1-x²=5/x²+x Найдите корни уравнения: 5x+1/x-2=5x+2/x-3

Answer 1

1) |x - 1| + 2|x - 3| = 5 - x
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x, |x - 3| = 3 - x
1 - x + 2(3 - x) = 5 - x
1 - x + 6 - 2x = 5 - x
1 + 6 - 5 = x + 2x - x
2x = 2; x = 1 - не подходит, потому что x < 1
Если x ∈ [1; 3), то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = 3 - x
x - 1 + 2(3 - x) = 5 - x
x - 1 + 6 - 2x = 5 - x
5 - x = 5 - x
Это верно при любом x ∈ [1; 3)
Если x >= 3, то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = x - 3
x - 1 + 2(x - 3) = 5 - x
x - 1 + 2x - 6 = 5 - x
3x + x = 5 + 6 + 1
4x = 12
x = 3
Ответ: x ∈ [1; 3]

2) |x - 1| = x^3 - 3x^2 + x + 1
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x
1 - x = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2x
x(x - 1)(x - 2) = 0
x1 = 0 < 1 - подходит
x2 = 1; x3 = 2 > 1 - оба не подходят.
Если x >= 1, то |x - 1| = x - 1
x - 1 = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2
x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 2x + 2 = 0
(x - 1)(x^2 -2x - 2) = 0
x1 = 1 - подходит.
x^2 - 2x - 2 = 0
D = 2^2 - 4*(-2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)^2
x2 = (2 - 2√3)/2 = 1 - √3 < 1 - не подходит
x3 = (2 + 2√3)/2 = 1 + √2 > 1 - подходит
Ответ: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1 + √2

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди.

1. Уравнение \( \frac{3x - 1}{x - 2} - \frac{x - 1}{1 + x} = 0 \):

Сначала приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей: \[ (x - 2)(1 + x) \]

Получаем: \[ \frac{(3x - 1)(1 + x)}{x - 2} - \frac{(x - 1)(x - 2)}{1 + x} = 0 \]

Умножаем обе стороны на \( (x - 2)(1 + x) \) для избавления от знаменателей: \[ (3x - 1)(1 + x) - (x - 1)(x - 2) = 0 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ (3x^2 - x + 3x - 1) - (x^2 - 2x - x + 2) = 0 \] \[ 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 3x - 2 = 0 \] \[ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \( a = 2, b = 5, c = -3 \). \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{-5 \pm 7}{4} \]

Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = -3 \]

2. Уравнение \( \frac{x}{x^2 - x} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{5}{x^2 + x} \):

Приведем дроби к общему знаменателю \( (x^2 - x)(1 - x^2)(x^2 + x) \):

\[ \frac{x(x^2 + x)}{x(x - 1)(x + 1)(x + 1)} + \frac{2(x^2 - x)}{(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)} = \frac{5(1 - x)}{x(x + 1)(x^2 + x)} \]

Умножаем обе стороны на \( x(x - 1)(x + 1)(x^2 + x) \) для избавления от знаменателей:

\[ x(x^2 + x) + 2(x^2 - x) = 5(1 - x) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ x^3 + x^2 + 2x^2 - 2x = 5 - 5x \]

\[ x^3 + 3x^2 + 5x - 5 = 0 \]

Это кубическое уравнение, и его решение может быть сложным. Мы можем воспользоваться численными методами или специализированными программами для нахождения корней.

3. Уравнение \( \frac{5x + 1}{x - 2} = \frac{5x + 2}{x - 3} \):

Приведем дроби к общему знаменателю \( (x - 2)(x - 3) \):

\[ (5x + 1)(x - 3) = (5x + 2)(x - 2) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 5x^2 - 14x - 3 = 5x^2 - 8x - 4 \]

Выразим все члены на одну сторону:

\[ (5x^2 - 14x - 3) - (5x^2 - 8x - 4) = 0 \]

\[ -6x - 1 = 0 \]

Решив это уравнение, получаем:

\[ x = -\frac{1}{6} \]

Итак, корни уравнений:

1. \( x_1 = \frac{1}{2} \) \( x_2 = -3 \)

2. Решение кубического уравнения \( x^3 + 3x^2 + 5x - 5 = 0 \) требует более сложных методов, таких как численные методы.

3. \( x = -\frac{1}{6} \)