Question

Решите неравенство а) 2x+4/x-7>0 б) x-1/x+5<_0

Answer 1

A)   (2x+4)/(x-7)>0  x≠7
        --------------- -2-------------------7--------------------
            +                             -                       +     x∈(-∞;-2)∪(7;∞)

b)    x-1/x+5≤0    x≠-5
       ------------------- -5----------------------1--------------------
                 +                          -                              +               -5<x≤1

Answer 2

Конечно, решим данные неравенства:

а) \( \frac{2x + 4}{x - 7} > 0 \)

Чтобы решить это неравенство, нужно определить интервалы значений \( x \), при которых неравенство выполнено. Для начала найдем точки, в которых выражение в левой части неравенства обращается в ноль, то есть значения \( x \), при которых числитель или знаменатель равны нулю.

\( x - 7 = 0 \) (знаменатель не может быть равен нулю) \( x = 7 \)

Теперь, проверим знак выражения \( \frac{2x + 4}{x - 7} \) в каждой из областей, образованных точкой \( x = 7 \).

1. Для \( x < 7 \): возьмем \( x = 0 \) (выбираем значение меньше 7), подставим в исходное неравенство: \( \frac{2 \cdot 0 + 4}{0 - 7} = \frac{4}{-7} < 0 \) Получается, что при \( x < 7 \) выражение меньше нуля.

2. Для \( x > 7 \): возьмем \( x = 8 \) (выбираем значение больше 7), подставим в исходное неравенство: \( \frac{2 \cdot 8 + 4}{8 - 7} = \frac{20}{1} > 0 \) Таким образом, при \( x > 7 \) выражение больше нуля.

Итак, мы установили, что \( \frac{2x + 4}{x - 7} > 0 \) при \( x < 7 \) или \( x > 7 \).

б) \( \frac{x - 1}{x + 5} \leq 0 \)

Найдем точки, в которых левая часть неравенства обращается в ноль, то есть значения \( x \), при которых числитель или знаменатель равны нулю.

\( x + 5 = 0 \) (знаменатель не может быть равен нулю) \( x = -5 \)

\( x - 1 = 0 \) \( x = 1 \)

Теперь, проверим знак выражения \( \frac{x - 1}{x + 5} \) в каждой из областей, образованных точками \( x = -5 \) и \( x = 1 \).

1. Для \( x < -5 \): возьмем \( x = -6 \) (выбираем значение меньше -5), подставим в исходное неравенство: \( \frac{-6 - 1}{-6 + 5} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0 \) Таким образом, при \( x < -5 \) выражение больше нуля.

2. Для \( -5 < x < 1 \): возьмем \( x = 0 \) (выбираем значение между -5 и 1), подставим в исходное неравенство: \( \frac{0 - 1}{0 + 5} = \frac{-1}{5} < 0 \) Получается, что при \( -5 < x < 1 \) выражение меньше нуля.

3. Для \( x > 1 \): возьмем \( x = 2 \) (выбираем значение больше 1), подставим в исходное неравенство: \( \frac{2 - 1}{2 + 5} = \frac{1}{7} > 0 \) Таким образом, при \( x > 1 \) выражение больше нуля.

Итак, мы установили, что \( \frac{x - 1}{x + 5} \leq 0 \) при \( -5 < x < 1 \).

Таким образом, решения неравенств:

а) \( \frac{2x + 4}{x - 7} > 0 \) при \( x < 7 \) или \( x > 7 \). б) \( \frac{x - 1}{x + 5} \leq 0 \) при \( -5 < x < 1 \).