Question

Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:а) только двое не поздоровались между собойб) четверо поздоровались только между собой и остальные поздаровались только между собой

Answer 1

Известный факт: для n человек n(n-1)/2 рукопожатие (при условии "каждый с каждым")

 

а) 60<=n(n-1)/2 - 1<=70

2*61<=n(n-1)<=2*71

n=12

 

б) 60<=6 + (n-4)(n-5)/2<=70

2*54<=(n-4)(n-5)<=2*64

n=15

 

Answer 2

Давайте обозначим количество людей, встретившихся, буквой \(N\). Так как каждое рукопожатие включает в себя двух человек, общее количество рукопожатий будет равно \(\frac{N \cdot (N-1)}{2}\).

По условию задачи у нас есть два факта:

a) Только двое не поздоровались между собой. Это означает, что между каждой парой людей было рукопожатие, кроме одной пары. Таким образом, количество рукопожатий равно \(N-1\).

b) Четверо поздоровались только между собой, и остальные тоже поздоровались только между собой. Поскольку четверо поздоровались между собой, у нас есть \(\binom{4}{2} = 6\) рукопожатий между ними. Таким образом, остальные \(N-4\) человека также должны поздороваться между собой, что добавляет \(\frac{(N-4) \cdot (N-5)}{2}\) рукопожатий.

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ \frac{N \cdot (N-1)}{2} = N-1 + 6 + \frac{(N-4) \cdot (N-5)}{2} \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(N\). Но для начала упростим его:

\[ \frac{N^2 - N}{2} = N-1 + 6 + \frac{N^2 - 9N + 20}{2} \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ N^2 - N = 2N - 2 + 12 + N^2 - 9N + 20 \]

Теперь упростим:

\[ 0 = -11N + 30 \]

\[ 11N = 30 \]

\[ N = \frac{30}{11} \]

Таким образом, количество людей \(N\) не является целым числом, что может означать ошибку в условии задачи или невозможность выполнения обоих условий одновременно. Проверьте условия задачи на точность.