Question

1. Из пятизначных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит ровно две цифры 5. 2. Из шестизначных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность , что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит ровно три цифры 7.

Answer 1

1. Всего пятизначных чисел: 
9*10*10*10*10 = 90000.
Количество пятизначных чисел, в которых первая цифра - пятерка, равно:
4*9*9*9 = 2916 (Одна из оставшихся цифр - пятерка, поэтому можно варьировать только 3 разряда, причем цифрами от 0 до 4 и от 6 до 9 - отсюда три множителя 9. Пятерка может быть любым из четырех оставшихся разрядов - отсюда множитель 4).
Количество пятизначных чисел, в которых первая цифра - не пятерка, равно:
8*6*9*9 = 3888 (Первую цифру можно выбрать 8 способами - это не 0 и не 5. Из оставшихся четырех цифр можно варьировать 2 разряда, причем цифрами от 0 до 4 и от 6 до 9 - отсюда два множителя 9. Две пятерки могут располагаться на четырех местах 6 способами - отсюда множитель 6).
Искомая вероятность равна:
(2916+3888)/90000 = 0,0756.

2. Всего шестизначных чисел:
9*10*10*10*10*10 = 900000.
Количество шестизначных чисел, у которых первая цифра - семерка, равно:
10*9*9*9 = 7290 (Две оставшихся цифры - семерки, поэтому варьировать можно только три разряда, причем цифрами от 0 до 6 и от 8 до 9 - отсюда три множителя 9. Две семерки могут располагаться на пяти местах 10 способами - отсюда множитель 10).
Количество шестизначных чисел, у которых первая цифра - не семерка, равно:
8*10*9*9 = 6480 (Первую цифру можно выбрать 8 способами - это не 0 и не 7. Из оставшихся пяти разрядов варьировать можно 2, причем цифрами от 0 до 6 и от 8 до 9 - отсюда два множителя 9. Две семерки могут располагаться на пяти местах 10 способами - отсюда множитель 10).
Искомая вероятность равна:
(7290+6480)/900000 = 0,0153.

Answer 2

1. Из пятизначных чисел:

Всего пятизначных чисел существует \(9 \times 10^4\), так как первая цифра не может быть нулем, а остальные цифры могут быть любыми от 0 до 9.

Теперь, чтобы число содержало ровно две цифры 5, мы можем выбрать две позиции для цифры 5 из пяти возможных позиций: \(C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10\). Для каждой из этих комбинаций у нас есть 9 вариантов для оставшихся цифр (все, кроме 5). Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно \(10 \times 9 = 90\).

Вероятность выбрать число с ровно двумя цифрами 5 равна \(\frac{90}{9 \times 10^4} = \frac{1}{100}\).

2. Из шестизначных чисел:

Всего шестизначных чисел существует \(9 \times 10^5\), так как первая цифра не может быть нулем, а остальные цифры могут быть любыми от 0 до 9.

Чтобы число содержало ровно три цифры 7, мы можем выбрать три позиции для цифры 7 из шести возможных позиций: \(C(6,3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20\). Для каждой из этих комбинаций у нас есть 9 вариантов для оставшихся цифр (все, кроме 7). Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно \(20 \times 9 = 180\).

Вероятность выбрать число с ровно тремя цифрами 7 равна \(\frac{180}{9 \times 10^5} = \frac{1}{5000}\).