Question

№1Дано: sin t = 3/5Найти: cos t; tg t; ctg t.№2Доказать тождество.sin в 4 степени альфа - cos в 4 степени альфа + cos в квадрате альфа = sin в квадрате альфа

Answer 1

cos t = $\sqrt{1-sin^{2}t}=$4/5
tg t = $\sqrt{\frac{1}{cos^{2}t}-1}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ ;

ctg t = $\frac{1}{tg t}=\frac{4}{3}$

Answer 2

Конечно, давайте решим по порядку.

№1:

Дано: \( \sin t = \frac{3}{5} \)

Мы можем использовать тригонометрический тождество \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), чтобы найти \(\cos t\). Сначала найдем \(\cos^2 t\), а затем возьмем корень из этого значения.

\[ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t \]

\[ \cos^2 t = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \]

\[ \cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} \]

\[ \cos^2 t = \frac{16}{25} \]

Теперь возьмем корень из обеих сторон:

\[ \cos t = \pm \frac{4}{5} \]

Таким образом, получаем два возможных значений \(\cos t\): \( \cos t = \frac{4}{5} \) или \( \cos t = -\frac{4}{5} \).

Теперь найдем \(\tan t\) и \(\cot t\):

\[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{3}{5}}{\pm \frac{4}{5}} \]

\[ \tan t = \pm \frac{3}{4} \]

\[ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \pm \frac{4}{3} \]

Таким образом, ответы:

\[ \cos t = \frac{4}{5} \text{ или } -\frac{4}{5} \] \[ \tan t = \pm \frac{3}{4} \] \[ \cot t = \pm \frac{4}{3} \]

№2:

Доказать тождество:

\[ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Также, мы можем представить \( \cos^2 \alpha \) как \( 1 - \sin^2 \alpha \).

Заменим эти значения в наше тождество:

\[ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^4 \alpha - (1 - \sin^2 \alpha)^2 + (1 - \sin^2 \alpha) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \sin^4 \alpha - (1 - 2\sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha) + (1 - \sin^2 \alpha) \]

Отменим подобные члены:

\[ -2\sin^2 \alpha + 1 - \sin^2 \alpha \]

Теперь объединим члены:

\[ -3\sin^2 \alpha + 1 \]

Так как \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), то \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \). Мы можем заменить \( \sin^2 \alpha \) в нашем выражении:

\[ -3(1 - \cos^2 \alpha) + 1 \]

Раскроем скобки:

\[ -3 + 3\cos^2 \alpha + 1 \]

Упростим:

\[ 3\cos^2 \alpha - 2 \]

Теперь, если мы вспомним, что \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), то \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \). Мы можем заменить \( \cos^2 \alpha \) в нашем выражении:

\[ 3(1 - \sin^2 \alpha) - 2 \]

Раскроем скобки:

\[ 3 - 3\sin^2 \alpha - 2 \]

Упростим:

\[ -3\sin^2 \alpha + 1 \]

Таким образом, мы видим, что наше выражение равно исходной функции \( \sin^2 \alpha \). Тождество подтверждено:

\[ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \]