Question

Найдите наибольшее значение многочлена р(х): а) р(х) - 7 - х2 - 6х; в) р(х) = 10 - Зх - х2; б) р(х) = Ъх - 2х2; г) р(х) = 1 + Зх - 2х2.

Answer 1

под в)10-3x-x2 и под г) 1+3x-2x2

Answer 2

Решение уравнения:

Для нахождения наибольшего значения многочлена \(р(х)\) необходимо найти вершину параболы, заданной этим многочленом. Вершина параболы находится по формуле \(х_в = -\frac{b}{2a}\), где \(b\) - коэффициент при \(x\), \(a\) - коэффициент при \(x^2\).

Решение для каждого варианта:

а) \(р(х) = 7 - x^2 - 6x\): \(a = -1\), \(b = -6\). Подставляем в формулу вершины параболы: \(х_в = -\frac{-6}{2*(-1)} = 3\). Теперь найдем значение многочлена в точке вершины: \(р(3) = 7 - 3^2 - 6*3 = 7 - 9 - 18 = -20\). Таким образом, наибольшее значение многочлена \(р(х)\) в этом случае равно \(-20\).

б) \(р(х) = 10 - 3x - x^2\): \(a = -1\), \(b = -3\). Подставляем в формулу вершины параболы: \(х_в = -\frac{-3}{2*(-1)} = \frac{3}{2}\). Теперь найдем значение многочлена в точке вершины: \(р\left(\frac{3}{2}\right) = 10 - 3\left(\frac{3}{2}\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 10 - \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{11}{4}\). Таким образом, наибольшее значение многочлена \(р(х)\) в этом случае равно \(\frac{11}{4}\).

в) \(р(х) = Ъх - 2x^2\): \(a = -2\), \(b = Ъ\). Подставляем в формулу вершины параболы: \(х_в = -\frac{Ъ}{2*(-2)} = \frac{Ъ}{4}\). Значение многочлена в точке вершины: \(р\left(\frac{Ъ}{4}\right) = Ъ\left(\frac{Ъ}{4}\right) - 2\left(\frac{Ъ}{4}\right)^2 = \frac{Ъ^2}{4} - \frac{Ъ^2}{8} = \frac{Ъ^2}{8}\). Наибольшее значение многочлена \(р(х)\) в этом случае равно \(\frac{Ъ^2}{8}\).

г) \(р(х) = 1 + Зх - 2x^2\): \(a = -2\), \(b = З\). Подставляем в формулу вершины параболы: \(х_в = -\frac{З}{2*(-2)} = -\frac{З}{-4} = \frac{З}{4}\). Значение многочлена в точке вершины: \(р\left(\frac{З}{4}\right) = 1 + З\left(\frac{З}{4}\right) - 2\left(\frac{З}{4}\right)^2 = 1 + \frac{З^2}{4} - \frac{З^2}{8} = 1 + \frac{З^2}{8}\). Наибольшее значение многочлена \(р(х)\) в этом случае равно \(1 + \frac{З^2}{8}\).

Вывод: Таким образом, наибольшее значение многочлена \(р(х)\) для каждого варианта: - а) \(-20\) - б) \(\frac{11}{4}\) -