Question

Решите уравнения: 1) 9^(x+1)-2*3^(x+2)+5=0 2) 2^(2x-1)=2^(x-1)+1

Answer 1

2.) 2x-1=(x-1)+1(т.к. основания одинаковые); откуда, 2x-1=x (т. к. при упрощении выражения в правой части единица и минус единица взаимно уничтожаются.), откуда, x=1.

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди.

Уравнение 1: 9^(x+1) - 2 * 3^(x+2) + 5 = 0

Для начала, давайте преобразуем это уравнение:

9^(x+1) - 2 * 3^(x+2) + 5 = 0

Разложим 9 и 3 в степени:

(3^2)^(x+1) - 2 * (3^1)^(x+2) + 5 = 0

3^(2(x+1)) - 2 * 3^(1(x+2)) + 5 = 0

Теперь применим свойство степеней с одинаковым основанием:

3^(2x + 2) - 2 * 3^(x + 2) + 5 = 0

Теперь объединим все члены с одинаковыми основаниями:

(3^(2x + 2) - 2 * 3^(x + 2)) + 5 = 0

Сократим общий множитель:

3^(x + 2) * (3^x - 2) + 5 = 0

Теперь у нас есть квадратный трехчлен (3^x - 2) * (3^(x + 2)) и постоянный член (5). Мы можем решить это уравнение, приравняв его к нулю.

(3^x - 2) * (3^(x + 2)) = -5

Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно:

3^x - 2 = 0 или 3^(x + 2) = -5

Решим первое уравнение:

3^x = 2

Возведем обе части уравнения в логарифм по основанию 3:

log3(3^x) = log3(2)

x = log3(2)

Теперь решим второе уравнение:

3^(x + 2) = -5

Заметим, что экспонента не может быть отрицательной, поэтому у этого уравнения нет решений.

Таким образом, решение исходного уравнения 9^(x+1) - 2 * 3^(x+2) + 5 = 0 равно x = log3(2).

Уравнение 2: 2^(2x-1) = 2^(x-1) + 1

Давайте преобразуем это уравнение:

2^(2x-1) = 2^(x-1) + 1

Обратим внимание, что обе стороны уравнения имеют одинаковое основание (2). Поэтому мы можем приравнять показатели степени:

2x - 1 = x - 1 + log2(1)

Вычитаем (x - 1) из обеих сторон:

2x - (x - 1) = -1

Упростим выражение:

x + 1 = -1

Вычитаем 1 из обеих сторон:

x = -2

Таким образом, решение уравнения 2^(2x-1) = 2^(x-1) + 1 равно x = -2.

Пожалуйста, обратите внимание, что второе уравнение имеет только одно решение, в то время как первое уравнение имеет одно решение x = log3(2).