Question

Помогите решить уравнение sin4x+cos^2(2x)=2

Answer 1

Sin4x +cos²2x =2; 
2sin2x*cos2x+cos²2x  = 2(sin²2x +cos²2x) ;
2sin²2x - 2sin2x*cos2x + cos²2x =0;
2tq²2x - 2tq2x +1 =0 ;
замена:  t = tq2x.
2t²  - 2t +1 = 0; 
D/4 =1² -2 = -1< 0 не имеет решения .
***********************
покажем иначе :
sin4x +cos²2x =2; 
|sin4x +cos²2x | ≤ |sin4x| +|cos²2x| ≤ 1+1 =2.
равенство выполняется , если { cos²2x =1 ;sin4x=2sin2x*cos2x =1.
 { cos2x =±1 ;sin4x=2sin2x*cos2x =1. но если  cos2x =±1⇒sin2x=0⇒sin4x=2sin2x*cos2x=0
т.е.  одновременно не могут  выполняться  |sin4x| =1 и |cos²2x| =1.

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением поэтапно.

Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

sin(4x) + cos^2(2x) = 2

Чтобы решить это уравнение, давайте приведем его к более простому виду.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества для упрощения уравнения.

У нас есть тригонометрическое тождество, которое может пригодиться в данном случае:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Применим это тождество к нашему уравнению:

sin(4x) + (1 - sin^2(2x)) = 2

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим уравнение.

sin(4x) + 1 - sin^2(2x) = 2

Теперь перепишем уравнение в более компактной форме:

sin(4x) - sin^2(2x) = 1

Шаг 3: Применим тригонометрическую формулу разности синусов.

sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * sin((a - b) / 2)

Применим эту формулу к нашему уравнению:

2 * cos(3x) * sin(2x) - sin^2(2x) = 1

Шаг 4: Раскроем квадрат синуса и упростим уравнение.

2 * cos(3x) * sin(2x) - (1 - cos^2(2x)) = 1

2 * cos(3x) * sin(2x) - 1 + cos^2(2x) = 1

Шаг 5: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения.

2 * cos(3x) * sin(2x) + cos^2(2x) - 2 = 0

Шаг 6: Перепишем уравнение в терминах одной тригонометрической функции.

Мы видим произведение cos(3x) * sin(2x), поэтому воспользуемся формулой для произведения синуса и косинуса:

2 * cos(3x) * sin(2x) = sin(5x) - sin(x)

Теперь перепишем уравнение:

sin(5x) - sin(x) + cos^2(2x) - 2 = 0

Шаг 7: Упростим уравнение и приведем его к более компактному виду.

sin(5x) - sin(x) + 1 - sin^2(2x) - 2 = 0

sin(5x) - sin(x) - sin^2(2x) - 1 = 0

Шаг 8: Применим тригонометрическую формулу суммы синусов.

sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применим эту формулу к уравнению:

2 * sin((5x + x) / 2) * cos((5x - x) / 2) - sin^2(2x) - 1 = 0

2 * sin(3x) * cos(2x) - sin^2(2x) - 1 = 0

Шаг 9: Перепишем уравнение в терминах одной тригонометрической функции.

Мы видим произведение sin(3x) * cos(2x), поэтому воспользуемся формулой для произведения синуса и косинуса:

2 * sin(3x) * cos(2x) = sin(5x) + sin(x)

Теперь перепишем уравнение:

sin(5x) + sin(x) - sin^2(2x) - 1 = 0

Шаг 10: Используем тождество для квадрата синуса.

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Применим это тождество к уравнению:

sin(5x) + sin(x) - (1 - cos^2(2x)) - 1 = 0

sin(5x) + sin(x) - 1 + cos^2(2x) - 1 = 0

Шаг 11: Упростим уравнение и приведем его к более компактному виду.

sin(5x) + sin(x) + cos^2(2x) - 2 = 0

Шаг 12: Заметим, что у нас есть произведение sin(5x) * sin(x), поэтому воспользуемся формулой для произведения синусов:

sin(a) * sin(b) = 1/2 * (cos(a - b) - cos(a + b))

Применим эту формулу к уравнению:

1/2 * (cos(5x - x) - cos(5x + x)) + cos^2(2x) - 2 = 0

1/2 * (cos(4x) - cos(6x)) + cos^2(2x) - 2 = 0

Шаг 13: Перепишем уравнение в терминах косинуса.

Мы видим произведение cos(4x) * cos(6x), поэтому воспользуемся формулой для произведения косинусов:

cos(a) * cos(b) = 1/2 * (cos(a - b) + cos(a + b))

Применим эту формулу к уравнению:

1/2 * (cos(4x - 6x) + cos(4x + 6x)) + cos^2(2x) - 2 = 0

1/2 * (cos(-2x) + cos(10x)) + cos^2(2x) - 2 = 0

Шаг 14: Упростим уравнение и приведем его к более компактному виду.

1/2 * (cos(-2x) + cos(10x)) + cos^2(2x) - 2 = 0

cos(-2x) + cos(10x) + 2 * cos^2(2x) - 4 = 0

Шаг 15: Используем формулу двойного угла для косинуса.

cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1

Применим эту формулу к уравнению:

cos(-2x) + cos(10x) + 2 * (2 * cos^2(x) - 1)^2 - 4 = 0

cos(-2x) + cos(10x) + 2 * (4 * cos^4(x) - 4 * cos^2(x) + 1) - 4 = 0

Шаг 16: Упростим уравнение и приведем его к более компактному виду.

cos(-2x) + cos(10x) + 8 * cos^4(x) - 8 * cos^2(x) + 2 - 4 = 0

cos(-2x) + cos(10x) + 8 * cos^4(x) - 8 * cos^2(x) - 2 = 0

Шаг 17: Заметим, что у нас есть произведение cos(-2x) * cos(10x), поэтому воспользуемся формулой для произведения косинусов:

cos(a) * cos(b) = 1/2 * (cos(a - b) + cos(a