Question

Найдите для функции f первообразную,график который проходит через точку M:a)f(x)=4x-x^3,М(2;1)

Answer 1

F(x) = 2x^2-x^4/4+C
С=2*4-16/4 = 4
F(x) = 2x^2-x^4/4+4

Answer 2

Для нахождения первообразной функции \( f(x) \) необходимо проинтегрировать исходную функцию. Первообразная функция \( F(x) \) это функция, производная которой равна \( f(x) \).

Нахождение первообразной функции

Для функции \( f(x) = 4x - x^3 \) найдем ее первообразную \( F(x) \): \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (4x - x^3) \, dx \]

Вычислим интеграл: \[ F(x) = 2x^2 - \frac{x^4}{4} + C \] где \( C \) - произвольная постоянная, которая появляется при интегрировании.

Нахождение постоянной \( C \)

Чтобы найти постоянную \( C \), воспользуемся информацией о точке \( M(2, 1) \), через которую проходит график первообразной функции.

Подставим координаты точки \( M(2, 1) \) в уравнение первообразной функции: \[ 1 = 2\cdot 2^2 - \frac{2^4}{4} + C \] \[ 1 = 8 - 4 + C \] \[ C = -3 \]

Таким образом, первообразная функция \( F(x) \) для \( f(x) = 4x - x^3 \) равна: \[ F(x) = 2x^2 - \frac{x^4}{4} - 3 \]

Построение графика

Теперь мы можем построить график функции \( F(x) \), который проходит через точку \( M(2, 1) \).

\[ F(x) = 2x^2 - \frac{x^4}{4} - 3 \]


На графике выше показан график первообразной функции \( F(x) = 2x^2 - \frac{x^4}{4} - 3 \), который проходит через точку \( M(2, 1) \).