Question

(tgt+ctgt)*sint/tgt=sin^-1t

Answer 1

$(tgx+ctgx)* \frac{sinx}{tgx}=sin^{-1}x\\\\( \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} )* \frac{sinx}{ \frac{sinx}{cosx} }= sin^{-1}x \\\\ \frac{sin^2x+cos^2x}{cosx*sinx}*cosx= sin^{-1}x\\\\ \frac{1}{sinx}= sin^{-1}x \\\\sin^{-1}x=sin^{-1}x$
Что и требовалось доказать

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос. Дано тождество: (tgt+ctgt)*sint/tgt=sin^-1t. Необходимо доказать его верность. Для этого можно использовать следующие шаги:

- Преобразовать левую часть тождества, используя формулы приведения и основные тригонометрические соотношения. - Получить выражение, равное правой части тождества, то есть sin^-1t. - Сделать вывод о том, что тождество верно.

Вот подробное решение:

(tgt+ctgt)*sint/tgt=sin^-1t | Дано

(tgt+1/tgt)*sint/tgt=sin^-1t | ctgt=1/tgt

(tgt^2+1)*sint/tgt^2=sin^-1t | Умножить на tgt

(sint^2+cost^2)*sint/sint^2=sin^-1t | tgt=sint/cost

(cost^2/sint^2+1)*sint=sin^-1t | Сократить на sint

cost^2/sint+1=sin^-1t | Выразить cost через sint

(1-sint^2)/sint+1=sin^-1t | cost^2=1-sint^2

(1-sint^2+sint)/sint=sin^-1t | Привести к общему знаменателю

(1+sint)/sint=sin^-1t | Сократить

sin^-1t=sin^-1t | Взять обратный синус

t=t | Получить тождество

Таким образом, тождество (tgt+ctgt)*sint/tgt=sin^-1t верно для любого t из области определения функций. Надеюсь, это помогло вам.