Question

Вычислите f '(9), если f(x)=1/корень из х

Answer 1

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} }$

F`(x) = $\frac{1}{ 2x\sqrt{x} }$

 f `(9) = $\frac{1}{2*9* \sqrt{9} } = \frac{1}{18*3} = \frac{1}{54}$

Answer 2

Для начала, давайте найдем производную функции f(x). Определение производной функции f(x) можно записать следующим образом:

f'(x) = lim(h->0) [(f(x + h) - f(x)) / h]

где lim(h->0) обозначает предел, когда h стремится к нулю.

В нашем случае функция f(x) задана следующим образом:

f(x) = 1 / sqrt(x)

Теперь можем продолжить и вычислить производную f'(x). Для этого мы заменим x на 9 в выражении для производной:

f'(9) = lim(h->0) [(f(9 + h) - f(9)) / h]

Теперь подставим значения функции f(x):

f'(9) = lim(h->0) [(1 / sqrt(9 + h)) - (1 / sqrt(9))] / h

Дальше мы можем упростить это выражение, используя алгебруические преобразования. Чтобы упростить дробь, мы должны умножить первую дробь на sqrt(9 + h) и вторую дробь на sqrt(9):

f'(9) = lim(h->0) [(sqrt(9 + h) - sqrt(9)) / (h * sqrt(9 + h) * sqrt(9))]

Теперь мы можем сократить sqrt(9 + h) в числителе и знаменателе:

f'(9) = lim(h->0) [(sqrt(9 + h) - sqrt(9)) / (h * sqrt(9) * sqrt(9))]

Упрощаем еще дальше:

f'(9) = lim(h->0) [(sqrt(9 + h) - sqrt(9)) / (h * 3 * 3)]

f'(9) = lim(h->0) [(sqrt(9 + h) - sqrt(9)) / (9h)]

Теперь, чтобы вычислить предел, мы можем применить правило Лопиталя (правило Лопиталя позволяет вычислить предел отношения двух функций, если предел отношения производных этих функций существует):

f'(9) = lim(h->0) [d/dh(sqrt(9 + h)) / d/dh(9h)]

Производная sqrt(9 + h) по h равна 1 / (2 * sqrt(9 + h)), и производная 9h по h равна 9:

f'(9) = lim(h->0) [1 / (2 * sqrt(9 + h)) / 9]

Теперь мы можем упростить это выражение:

f'(9) = 1 / (18 * sqrt(9))

f'(9) = 1 / 54

Итак, производная функции f(x) в точке x = 9 равна 1/54.