Question

доказать тождество:1) 3cos 2α – sin^2 α + cos^2 α = 2cos 2α2) (Sin 5α – sin 3α) / 2cos 4α = sinαупростить:Cos^2 (π-α) – cos^2 ( П/2 - α)

Answer 1

1.3cos 2α – sin^2 α + cos^2 α = 2cos 2α

3cos 2α – 2cos 2α - sin^2 α + cos^2 α = 0

3cos 2α – 2cos 2α -(1-cosα)/2+(1+cosα)/2=0

6cos 2α – 4cos 2α -1+cosα+1+cosα=0

6cos 2α – 4cos 2α + 2cosα=0

2cos 2α =0

cos 2α =0

2α= П/2+ Пn, n Z

α= П/4+ Пn/2, n Z

2.(Sin 5α – sin 3α) / 2cos 4α = sinα

 sin 5α – sin 3α = 2cos 4αsinα

sin 5α – sin 3α =- sin 3α+sin 5α

0=0

 

Cos^2 (π-α) – cos^2 ( П/2 - α)=Cos^2α – sin^2 α=cos2 α

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из данных выражений по очереди.

1) Доказательство тождества:

У нас дано тождество: 3cos(2α) - sin^2(α) + cos^2(α) = 2cos(2α)

Для того чтобы доказать данное тождество, мы можем использовать тригонометрические тождества. Одним из таких тождеств является тождество Пифагора: sin^2(α) + cos^2(α) = 1.

Заменим sin^2(α) + cos^2(α) в исходном выражении на 1:

3cos(2α) - 1 + 1 = 2cos(2α)

Упрощаем выражение:

3cos(2α) = 2cos(2α)

Теперь у нас имеется равенство, которое мы можем проверить. Если мы разделим обе части на cos(2α), получим:

3 = 2

Очевидно, что это не верно. Таким образом, исходное тождество 3cos(2α) - sin^2(α) + cos^2(α) = 2cos(2α) не доказано.

2) Упрощение выражения:

У нас дано выражение: (sin(5α) - sin(3α)) / (2cos(4α)) = sin(α)

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические формулы и свойства.

Давайте взглянем на числитель (sin(5α) - sin(3α)):

При помощи формулы разности для синуса, мы можем записать это выражение как:

sin(5α) - sin(3α) = 2cos(4α)sin(α)

Теперь мы можем заменить числитель в исходном выражении:

(2cos(4α)sin(α)) / (2cos(4α)) = sin(α)

После сокращения 2cos(4α) в числителе и знаменателе, получаем:

sin(α) = sin(α)

Теперь у нас имеется равенство, которое верно. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение (sin(5α) - sin(3α)) / (2cos(4α)) = sin(α) упрощается до sin(α).

3) Упрощение выражения:

У нас дано выражение: cos^2(π-α) - cos^2(π/2 - α)

Для упрощения этого выражения, мы можем использовать тригонометрические формулы и свойства.

Давайте взглянем на каждую из этих частей по отдельности:

cos^2(π-α) = cos^2(π)cos^2(α) - 2cos(π)cos(α)sin(π)sin(α) + sin^2(π)sin^2(α)

cos^2(π/2 - α) = cos^2(π/2)cos^2(α) - 2cos(π/2)cos(α)sin(π/2)sin(α) + sin^2(π/2)sin^2(α)

Следуя свойству cos(π) = -1 и cos(π/2) = 0, а также свойству sin(π) = 0 и sin(π/2) = 1, мы можем упростить эти выражения:

cos^2(π-α) = cos^2(α)

cos^2(π/2 - α) = sin^2(α)

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение:

cos^2(α) - sin^2(α)

Заменим cos^2(α) на 1 - sin^2(α) (с помощью тождества Пифагора):

1 - sin^2(α) - sin^2(α)

Теперь у нас имеется выражение, которое можно упростить:

1 - 2sin^2(α)

Таким образом, исходное выражение cos^2(π-α) - cos^2(π/2 - α) упрощается до 1 - 2sin^2(α).