Question

Найдите наибольшее значение выражения 2 sin^2a - 3 sina

Answer 1

Использована ограниченность синуса, свойства числовых неравенств

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения 2sin^2(a) - 3sin(a), мы можем использовать метод дифференцирования. Давайте приступим к решению задачи.

Шаг 1: Нахождение производной

Для начала найдем производную данного выражения по переменной a. Для этого дифференцируем каждый слагаемый по отдельности.

Дифференцируем 2sin^2(a): (d/dx)(2sin^2(a)) = 2 * 2sin(a) * cos(a) = 4sin(a)cos(a)

Дифференцируем -3sin(a): (d/dx)(-3sin(a)) = -3 * cos(a)

Шаг 2: Нахождение критических точек

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

4sin(a)cos(a) - 3cos(a) = 0

Вынесем общий множитель cos(a):

cos(a)(4sin(a) - 3) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для cos(a):

1) cos(a) = 0 2) 4sin(a) - 3 = 0

Шаг 3: Решение уравнений

Решим первое уравнение cos(a) = 0. Это означает, что a является множителем pi/2 (90 градусов) или 3pi/2 (270 градусов). Подставим эти значения в исходное выражение, чтобы найти соответствующие значения:

При a = pi/2: 2sin^2(pi/2) - 3sin(pi/2) = 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1

При a = 3pi/2: 2sin^2(3pi/2) - 3sin(3pi/2) = 2(-1)^2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5

Шаг 4: Проверка на концы интервала

Также нам нужно проверить значения выражения на границах интервала, если он задан. Поскольку не указано, в каком интервале мы ищем наибольшее значение, предположим, что интервал -pi <= a <= pi.

При a = -pi: 2sin^2(-pi) - 3sin(-pi) = 2(0)^2 - 3(0) = 0

При a = pi: 2sin^2(pi) - 3sin(pi) = 2(0)^2 - 3(0) = 0

Шаг 5: Выбор наибольшего значения

Таким образом, мы получаем следующие значения выражения:

a = pi/2: -1 a = 3pi/2: 5 a = -pi: 0 a = pi: 0

Наибольшее значение равно 5 при a = 3pi/2.

Ответ: Наибольшее значение выражения 2sin^2(a) - 3sin(a) равно 5 при a = 3pi/2.