Question

Х^4-3х^3-8х^2-3х+16=0 Найти все корни уравнения.

Answer 1

Применим метод Феррари.
Пусть $x=y+ \frac{3}{4}$. Подставив в исходное уравнение, получим
$y^4-11.375y^2-18.375y+8.30078125=0$  (*)
$p=-11.375;\,\,\,\,\, q=-18.375;\,\,\, r=8.30078125$
Для кубической резольвентой уравнения (*) есть уравнение
$2s^3+11.375s^2-16.6015625s-178.83154296875=0\\ 4096s^3+23296s^2-34000s-366247=0$
s - некоторое число
Здесь же применим метод Виета-Кардано
Q=(a²-3b)/9 ≈ 6.361
R=(2a³-9ab+27c)/54 ≈ -30.025
S=Q³-R² = -644.134 <0
Поскольку S<0, то кубическое уравнение имеет один единственный корень.
α = arccos(|R|/√Q³)/3 ≈ 0.413
s = -2sgn(R)√Q*chα - (a/3) ≈ 3.585 - наш корень

Подставляя наши значения в уравнение $y^2-y \sqrt{2S-p} + \frac{q}{2 \sqrt{2S-p} } +S=0$, получим

$y^2-y \sqrt{2\times3.585+11.375} - \frac{18.375}{2 \sqrt{2\times3.85+11.375} } +3.585=0\\ \\ \\ y^2-(0.05 \sqrt{7418} )y+ \frac{106374.12-735 \sqrt{7418} }{29672} =0$

$D= \frac{31192.69+735 \sqrt{7418} }{7418}$

$y_1= \frac{370.9 \sqrt{7418}- \sqrt{231387374.42+5452230 \sqrt{7418} } }{14836} \approx 0.3686\\ \\ \\ y_2= \frac{370.9 \sqrt{7418}+ \sqrt{231387374.42+5452230 \sqrt{7418} } }{14836} \approx3.9378$

Возвращаемся к обратной замене

$x_1= \frac{370.9 \sqrt{7418}- \sqrt{231387374.42+5452230 \sqrt{7418} } }{14836} +0.75\approx1.1186\\ \\\\ x_2= \frac{370.9 \sqrt{7418}+ \sqrt{231387374.42+5452230 \sqrt{7418} } }{14836} +0.75\approx4.6878$

Ответ: $x_1\approx1.1186;\,\,\,\,\, x_2\approx4.6878$

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться различными методами, например, методом проб и ошибок, методом графиков, методом группировки членов и методом декомпозиции.

Один из возможных способов решения - использование метода группировки членов. Для этого выделим общие множители в первых двух и последних двух членах:

х^4 - 3х^3 - 8х^2 - 3х + 16 = 0 х^3(х - 3) - 8х^2 - 3х + 16 = 0

Затем проведем группировку:

х^3(х - 3) - (8х^2 + 3х - 16) = 0

Теперь рассмотрим каждую скобку отдельно:

х^3(х - 3) = 0 8х^2 + 3х - 16 = 0

Первое уравнение имеет два корня: х = 0 и х = 3.

Для решения второго уравнения мы можем использовать квадратное уравнение или график. Для упрощения вычислений воспользуемся квадратным уравнением:

8х^2 + 3х - 16 = 0

Дискриминант данного квадратного уравнения равен D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 8 * (-16) = 9 + 512 = 521.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:

х = (-b + √D) / (2a) = (-3 + √521) / 16 х = (-b - √D) / (2a) = (-3 - √521) / 16

Таким образом, все корни уравнения х^4 - 3х^3 - 8х^2 - 3х + 16 = 0 равны: х = 0, х = 3, х ≈ 0.303, х ≈ -2.053.