Question

Решите неравенства: 1) (y-2)(y+3)-(y-2)^2<= 6y-11; 2) (y+3)(y-9)-(y+4)^2>=5-13y; 3) (3x+2)^2-(4-3x)^2<37x+14; 4) (5x+2)^2-15>(4x-1)^2+9.

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Перед тем, как мы начнем решать каждое из данных неравенств, давайте разберемся с общим подходом к решению неравенств.

Когда мы решаем неравенства, нашей целью является определение диапазона значений переменной, которые удовлетворяют данному неравенству. Для этого мы будем использовать различные алгебраические преобразования, чтобы выразить переменную на одной стороне неравенства и найти диапазон значений, которые удовлетворяют неравенству.

1) (y-2)(y+3)-(y-2)^2 <= 6y-11

Давайте разберемся с этим неравенством поэтапно:

1. Раскроем скобки: (y-2)(y+3)-(y-2)^2 <= 6y-11 y^2 + 3y - 2y - 6 - (y^2 - 4y + 4) <= 6y - 11 2. Упростим: y^2 + y - 6 - y^2 + 4y - 4 <= 6y - 11 y^2 + 5y - 10 <= 6y - 11 3. Перенесем все члены на одну сторону: y^2 + 5y - 6y + 1 <= 6y - 11 - 6y y^2 - y + 1 <= -11 4. Упростим: y^2 - y + 1 <= -11 5. Перенесем все члены на одну сторону: y^2 - y - 12 <= 0 6. Решим квадратное уравнение: (y - 4)(y + 3) <= 0 7. Найдем интервалы, где это неравенство выполнено: y - 4 <= 0 и y + 3 >= 0 y <= 4 и y >= -3 Итак, решением данного неравенства является интервал [-3, 4].

2) (y+3)(y-9)-(y+4)^2 >= 5-13y

Решим это неравенство поэтапно:

1. Раскроем скобки: (y+3)(y-9)-(y+4)^2 >= 5-13y y^2 - 9y + 3y - 27 - (y^2 + 8y + 16) >= 5 - 13y 2. Упростим: y^2 - 6y - 27 - y^2 - 8y - 16 >= 5 - 13y 3. Перенесем все члены на одну сторону: -14y - 38 >= 5 - 13y + 6y 4. Упростим: -14y - 38 >= -8y + 5 5. Перенесем все члены на одну сторону: -14y + 8y >= 5 + 38 6. Упростим: -6y >= 43 7. Домножим обе части на -1 (при этом знак неравенства изменится): 6y <= -43 8. Разделим обе части на 6: y <= -43/6 Итак, решением данного неравенства является интервал (-∞, -43/6].

3) (3x+2)^2-(4-3x)^2 < 37x+14

Решим это неравенство поэтапно:

1. Раскроем скобки: (3x+2)^2-(4-3x)^2 < 37x+14 9x^2 + 12x + 4 - (16 - 24x + 9x^2) < 37x + 14 2. Упростим: 9x^2 + 12x + 4 - 16 + 24x - 9x^2 < 37x + 14 3. Упростим: 36x - 12 < 37x + 14 4. Перенесем все члены на одну сторону: 36x - 37x < 14 + 12 5. Упростим: -x < 26 6. Умножим обе части на -1 (при этом знак неравенства изменится): x > -26 Итак, решением данного неравенства является интервал (-26, +∞).

4) (5x+2)^2-15 > (4x-1)^2+9

Решим это неравенство поэтапно:

1. Раскроем скобки: (5x+2)^2-15 > (4x-1)^2+9 25x^2 + 20x + 4 - 15 > 16x^2 - 8x + 1 + 9 2. Упростим: 25x^2 + 20x - 15 > 16x^2 - 8x + 10 3. Перенесем все члены на одну сторону: 9x^2 + 28x - 25 > 0 4. Решим квадратное уравнение: (9x - 5)(x + 5) > 0 5. Найдем интервалы, где это неравенство выполнено: 9x - 5 > 0 и x + 5 > 0 x > 5/9 и x > -5 Итак, решением данного неравенства является интервал (5/9, +∞).

Answer 3

Для начала давайте решим каждое из представленных неравенств поочередно.

Решение неравенства 1:

Дано неравенство: \[ (y-2)(y+3)-(y-2)^2 \leq 6y-11 \]

Первым шагом решения этого неравенства будет раскрытие скобок и упрощение выражения: \[ (y-2)(y+3) - (y-2)^2 \leq 6y-11 \] \[ y^2 + 3y - 2y - 6 - (y^2 - 4y + 4) \leq 6y - 11 \] \[ y^2 + y - 6 - y^2 + 4y - 4 \leq 6y - 11 \] \[ 5y - 10 \leq 6y - 11 \] \[ -y \leq -1 \] \[ y \geq 1 \]

Таким образом, решением данного неравенства является \( y \geq 1 \).

Решение неравенства 2:

Дано неравенство: \[ (y+3)(y-9)-(y+4)^2 \geq 5-13y \]

Произведем раскрытие скобок и упрощение выражения: \[ y^2 - 9y + 3y - 27 - (y^2 + 8y + 16) \geq 5 - 13y \] \[ y^2 - 6y - 27 - y^2 - 8y - 16 \geq 5 - 13y \] \[ -14y - 43 \geq 5 - 13y \] \[ -14y + 13y \geq 5 + 43 \] \[ -y \geq 48 \] \[ y \leq -48 \]

Таким образом, решением данного неравенства является \( y \leq -48 \).

Решение неравенства 3:

Дано неравенство: \[ (3x+2)^2 - (4-3x)^2 < 37x+14 \]

Раскроем скобки и упростим выражение: \[ 9x^2 + 12x + 4 - (16 - 24x + 9x^2) < 37x + 14 \] \[ 9x^2 + 12x + 4 - 16 + 24x - 9x^2 < 37x + 14 \] \[ 12x - 12 < 37x + 14 \] \[ -12 < 25x + 14 \] \[ -26 < 25x \] \[ x > -\frac{26}{25} \]

Таким образом, решением данного неравенства является \( x > -\frac{26}{25} \).

Решение неравенства 4:

Дано неравенство: \[ (5x+2)^2 - 15 > (4x-1)^2 + 9 \]

Раскроем скобки и упростим выражение: \[ 25x^2 + 20x + 4 - 15 > 16x^2 - 8x + 1 + 9 \] \[ 25x^2 + 20x - 11 > 16x^2 - 8x + 10 \] \[ 9x^2 + 28x - 21 > 0 \]

Это квадратное неравенство, которое можно решить, находя корни квадратного уравнения и используя метод интервалов.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни уравнения \(9x^2 + 28x - 21 = 0\). Далее, используем метод интервалов, чтобы найти значения, удовлетворяющие неравенству.

Давайте продолжим решение квадратного неравенства: \[ 9x^2