Question

Упростите выражение: 9sin29° × sin225° × (sin^2 8° - cos^2 8°) + 18sin61° × cos45° × sin8°cos8°

Answer 1

9sin29° *sin225° *(sin²28°-cos²28°)+18° *sin61° *cos45° *sin28° *cos28°=4,5√2cos5°

1. sin29°=sin(90°-61°)=cos61°
2. sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°=-√2/2
3. sin²28°-cos²28°=-(cos²28°-sin²28°)=-cos2*28°=-cos56°
4. 9cos61° *(-√2/2)*(-cos56°)=(9√2/2)*cos61° *cos56°

5. sin28° *cos28°=(1/2)*2*sin28° *cos28°=(1/2)sin(2*28°)=(1/2)sin56°

6. 18*sin61° *(√2/2)*(1/2)sin56°=(9√2/2)*sin61° *sin56°
7. (9√2/2)*cos61° *cos56°+(9√2/2)*sin61° *sin56°=(9√2/2)*(cos61° *cos56°+sin61° *sin56°)=(9√2/2)*cos(61°-56°)=(9√2/2)cos5°=4,5√2cos5°

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества.

1. Заметим, что sin(225°) = -sin(45°), поскольку sin(225°) = sin(180° + 45°) = -sin(45°) (из свойства периодичности синуса). Также заметим, что sin^2(8°) - cos^2(8°) = sin^2(8°) - (1 - sin^2(8°)) = 2sin^2(8°) - 1 (используя тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x)).

2. Подставим эти значения в исходное выражение: 9sin(29°) * (-sin(45°)) * (2sin^2(8°) - 1) + 18sin(61°) * cos(45°) * sin(8°) * cos(8°).

3. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности: Первое слагаемое: 9sin(29°) * (-sin(45°)) * (2sin^2(8°) - 1). Можно заметить, что sin(29°) * (-sin(45°)) = -(sin(29°) * sin(45°)) = -(1/2)(cos(29° - 45°) - cos(29° + 45°)) = -(1/2)(cos(-16°) - cos(74°)) = (1/2)(cos(16°) - cos(74°)). Подставим это в выражение: 9(1/2)(cos(16°) - cos(74°))(2sin^2(8°) - 1) = 9/2(cos(16°) - cos(74°))(2sin^2(8°) - 1).

Второе слагаемое: 18sin(61°) * cos(45°) * sin(8°) * cos(8°). Заметим, что sin(61°) * sin(8°) * cos(8°) = (1/2)(cos(61° - 8°) - cos(61° + 8°)) = (1/2)(cos(53°) - cos(69°)). Подставим это в выражение: 18(1/2)(cos(53°) - cos(69°)) = 9(cos(53°) - cos(69°)).

4. Таким образом, упрощенное выражение будет выглядеть следующим образом: 9/2(cos(16°) - cos(74°))(2sin^2(8°) - 1) + 9(cos(53°) - cos(69°)).

Это окончательный упрощенный вид данного выражения.