Question

99 баллов!Решите уравнение) cos2x-√2 cos(3pi/2 + x)-1 = 0

Answer 1

Формула косинуса двойного угла
$cos(2x)=1-2sin^2 x$
формула приведения
$cos(\frac{3*\pi}{2}+x)=sin x$

$cos(2x)-\sqrt{2}cos(\frac{3*\pi}{2}+x)-1=0$
$1-2sin^2 x-\sqrt{2}sin x-1=0$
$-2sin^2 x-\sqrt{2} sin x=0$
$\sqrt{2} sin^2 x+sin x=0$
$sin x(\sqrt{2}sin x+1)=0$
$sin x=0; x=\pi*k$, k є Z

$\sqrt{2}sinx+1=0$
$sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$x=(-1)^l*arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) +\pi*l$
$x=(-1)^{l+1}*\frac{\pi}{4}+\pi*l$, l є Z
в ответ обе найденные серии решений

Answer 2

Вот решила через приложение
Всё правильно))

Answer 3

Давайте решим уравнение подробно. Уравнение, которое мы хотим решить, выглядит следующим образом:

cos(2x) - √2cos(3π/2 + x) - 1 = 0

Для начала, давайте преобразуем второе слагаемое. Мы можем использовать формулу синуса суммы:

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)

В нашем случае, α = 3π/2 и β = x. Подставим эти значения в формулу:

cos(3π/2 + x) = cos(3π/2)cos(x) - sin(3π/2)sin(x)

Так как cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1, получаем:

cos(3π/2 + x) = 0*cos(x) - (-1)*sin(x) = sin(x)

Теперь уравнение принимает вид:

cos(2x) - √2sin(x) - 1 = 0

Далее, давайте воспользуемся формулой двойного угла для cos(2x):

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это значение в уравнение:

2cos^2(x) - 1 - √2sin(x) - 1 = 0

Упростим уравнение:

2cos^2(x) - √2sin(x) - 2 = 0

Теперь мы имеем уравнение квадратного типа. Давайте обозначим cos(x) как t, чтобы упростить запись:

2t^2 - √2sin(x) - 2 = 0

Теперь мы можем заменить sin(x) на √(1 - cos^2(x)), используя тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2t^2 - √2√(1 - t^2) - 2 = 0

2t^2 - 2√2√(1 - t^2) - 2 = 0

Разделим уравнение на 2:

t^2 - √2√(1 - t^2) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно t. Давайте решим его.

Решим уравнение t^2 - √2√(1 - t^2) - 1 = 0 используя квадратное уравнение t^2 + pt + q = 0, где p = -√2√(1 - t^2) и q = -1:

t = (-p ± √(p^2 - 4q)) / 2

Подставим значения p и q:

t = (√2√(1 - t^2) ± √((-√2√(1 - t^2))^2 - 4*(-1))) / 2

t = (√2√(1 - t^2) ± √(2(1 - t^2) + 4)) / 2

Теперь у нас есть два значения t. Подставим их обратно в cos(x) = t, чтобы получить значения x.

x = arccos(t)

Подставим значения t:

x = arccos(√2√(1 - t^2) ± √(2(1 - t^2) + 4)) / 2

Таким образом, мы получили общую формулу для решения уравнения cos(2x) - √2cos(3π/2 + x) - 1 = 0.