Question

Число при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 3 остаток 2 . Найдите остаток от деления этого числа на 15.

Answer 1

Число 20, остаток 5.

Answer 2

Это число 26 и при делении на 15 даёт остаток 11

Answer 3

Для решения этой задачи можно воспользоваться китайской теоремой об остатках. Согласно этой теореме, если у нас есть система уравнений вида:

x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n)

где x - неизвестное число, a и b - остатки, m и n - модули, то эта система имеет единственное решение x, которое можно найти с помощью китайской теоремы об остатках.

В данной задаче у нас есть два уравнения:

x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 2 (mod 3)

Мы хотим найти остаток от деления числа x на 15, поэтому наш модуль будет равен 15. Теперь мы можем применить китайскую теорему об остатках, чтобы найти значение x.

Решение:

1. По первому уравнению мы знаем, что x должно быть на 1 больше кратного 5. То есть x = 5k + 1, где k - целое число.

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

5k + 1 ≡ 2 (mod 3)

3. Решим полученное сравнение. Вычтем из обеих частей уравнения 1:

5k ≡ 1 (mod 3)

4. Теперь мы имеем два уравнения:

x = 5k + 1 5k ≡ 1 (mod 3)

5. Решим второе уравнение:

5k ≡ 1 (mod 3)

Для этого мы можем попробовать различные значения k и проверить, при каком из них это уравнение выполняется. Но есть более эффективный способ - воспользоваться обратным элементом.

В данном случае, обратным элементом 5 по модулю 3 будет число 2. Это означает, что 5 * 2 ≡ 1 (mod 3). Таким образом, мы можем сказать, что k = 2 является решением для второго уравнения.

6. Теперь мы можем найти значение x:

x = 5k + 1 = 5 * 2 + 1 = 11

Таким образом, получаем, что x = 11.

7. Найдем остаток от деления числа 11 на 15:

11 % 15 = 11

Ответ: Остаток от деления числа, которое удовлетворяет условию, на 15 равен 11.