Question

При каком наименьшем натуральном значении n уравнение имеет один кореньx^3 + 3x^2 - 45x + n = 0

Answer 1

Рассмотрим функцию f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x + n. Найдём её экстремумы.
f'(x) = 3x^2 + 6x - 45 = 3(x^2 + 2x - 15) = 3(x + 5)(x - 2)
В точке x = -5 производная меняет знак с плюса на минус; это точка максимума. В точке x = 2 - точка минимума.

Один корень у этого уравнения всегда есть. Ещё вещественных корней у него не будет в двух случаях:
a) f(-5) < 0
б) f(2) > 0

Разбираем случаи.
f(-5) = -125 + 75 + 225 + n = 175 + n - больше нуля при всех натуральных n, случай а) не реализуется никогда
f(2) = 8 + 12 - 90 + n = n - 70 > 0 при n >= 71.

Ответ. 71 

Answer 2

Для начала найдем производную данной функции:

f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x + n

f'(x) = 3x^2 + 6x - 45

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 + 6x - 45 = 0

Используем квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac D = 6^2 - 4*3*(-45) D = 36 + 540 D = 576

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (-6 ± √576) / 6 x1,2 = (-6 ± 24) / 6 x1 = (-6 + 24) / 6 = 3 x2 = (-6 - 24) / 6 = -5

Теперь найдем значение n, при котором уравнение имеет один корень. Для этого рассмотрим случай, когда у нас есть один корень, и он равен x0.

Если у нас есть один корень, то уравнение кубической функции может быть записано в виде:

(x - x0)^3 = 0

Раскроем скобки:

x^3 - 3x^2*x0 + 3x*x0^2 - x0^3 = 0

Сравнивая коэффициенты с исходным уравнением f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x + n, получаем:

-3x0 = 3 3x0^2 = -45 x0^3 = -n

Из второго уравнения получаем x0^2 = -45 / 3 = -15, затем из первого уравнения найдем x0 = -1. Из третьего уравнения найдем n = -(-1)^3 = -(-1) = 1.

Таким образом, при наименьшем натуральном значении n = 1 уравнение имеет один корень.