Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями: 1)y=2sinx, y=0, x=0, x=pi 2)y=3cosx, y=0, x=pi, x=2pi

Answer 1

$\int\limits^ \pi _0 {2sinx} \, dx= -2cosx \bigg |^ \pi _0=-2cos \pi +2cos0=2+2=4\\ \int\limits^ {2\pi} _ \pi {3cosx} \, dx= 6 \int\limits^ {2\pi} _ { \frac{3 \pi }{2} } {cosx} \, dx= 6sinx \bigg |^ {2\pi} _ { \frac{3 \pi }{2} } =6(sin2 \pi -sin { \frac{3 \pi }{2} })=6$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем использовать интеграл. Поскольку фигура ограничена вертикальными и горизонтальными линиями, мы можем разбить ее на две части и вычислить площадь каждой части отдельно.

Часть 1: y = 2sin(x), y = 0, x = 0, x = pi

Для первой части фигуры, ограниченной графиками функций y = 2sin(x), y = 0, x = 0 и x = pi, мы можем использовать формулу для вычисления площади под кривой:

S1 = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, [a, b] - интервал, на котором мы вычисляем площадь.

В данном случае, f(x) = 2sin(x), g(x) = 0, a = 0 и b = pi. Подставим значения в формулу:

S1 = ∫[0,pi] (2sin(x) - 0) dx

Вычислим интеграл:

S1 = [-2cos(x)] [0,pi]

S1 = -2cos(pi) - (-2cos(0))

Так как cos(pi) = -1 и cos(0) = 1, получим:

S1 = -2(-1) - (-2(1))

S1 = 2 + 2

S1 = 4

Часть 2: y = 3cos(x), y = 0, x = pi, x = 2pi

Для второй части фигуры, ограниченной графиками функций y = 3cos(x), y = 0, x = pi и x = 2pi, мы также можем использовать формулу для вычисления площади под кривой:

S2 = ∫[c,d] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, [c, d] - интервал, на котором мы вычисляем площадь.

В данном случае, f(x) = 3cos(x), g(x) = 0, c = pi и d = 2pi. Подставим значения в формулу:

S2 = ∫[pi,2pi] (3cos(x) - 0) dx

Вычислим интеграл:

S2 = [3sin(x)] [pi,2pi]

S2 = 3sin(2pi) - 3sin(pi)

Так как sin(2pi) = 0 и sin(pi) = 0, получим:

S2 = 3(0) - 3(0)

S2 = 0

Общая площадь:

Так как фигура состоит из двух частей, мы можем вычислить общую площадь, сложив площади каждой части:

S общая = S1 + S2

S общая = 4 + 0

S общая = 4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна 4.