Question

370. Доведіть, що вираз 7а (a+3) -a³ (21a+7a²-3а) набуває невід'ємних значень при всіх значеннях а.​

Answer 1

Щоб довести, що вираз 7a(a+3) - a³(21a+7a²-3a) набуває невід'ємних значень при всіх значеннях a, давайте спростимо вираз та визначимо умови, за яких він буде невід'ємним:

Спочатку спростимо вираз:

7a(a+3) - a³(21a+7a²-3a) = 7a² + 21a² - 3a - 21a⁴ - 7a⁵ + 3a⁴ = 28a² - 3a - 7a⁵

Тепер, щоб вираз був невід'ємним при всіх значеннях a, ми повинні переконатися, що кожен доданок в цьому виразі є невід'ємним для всіх a.

1. 28a² є завжди невід'ємним, оскільки квадрат будь-якого числа завжди невід'ємний.

2. -3a теж є невід'ємним, оскільки множення числа на від'ємний коефіцієнт змінює знак числа, але a саме по собі є невід'ємним.

3. -7a⁵ завжди буде від'ємним, оскільки від'ємний знак піднесення до ступеня 5 не змінює знак числа a⁵.

Таким чином, весь вираз 28a² - 3a - 7a⁵ набуває невід'ємних значень при всіх значеннях a, оскільки невід'ємні доданки переважають від'ємний доданок.