Question

Дано вершини чотирикутника А(1;–3;–5); В(2;–2;3); С(1;2;2); D(–3;0;4). Знайти кут між його діагоналями.

Answer 1

Для того чтобы найти угол между диагоналями четырехугольника, нам необходимо знать векторы, которые соединяют его вершины. Давайте начнем с вычисления векторов диагоналей.

Диагональ AC: Вектор AC можно получить, вычислив разность координат вершин A и C: AC = C - A = (1 - 1; 2 - (-3); 2 - (-5)) = (0; 5; 7)

Диагональ BD: Вектор BD можно получить, вычислив разность координат вершин B и D: BD = D - B = (-3 - 2; 0 - (-2); 4 - 3) = (-5; 2; 1)

Теперь, чтобы найти угол между векторами AC и BD, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (AC · BD) / (|AC| |BD|)

где AC · BD - скалярное произведение векторов AC и BD, и |AC| и |BD| - длины векторов AC и BD соответственно.

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

AC · BD = (0 * -5) + (5 * 2) + (7 * 1) = 0 + 10 + 7 = 17 |AC| = √(0^2 + 5^2 + 7^2) = √(0 + 25 + 49) = √74 |BD| = √((-5)^2 + 2^2 + 1^2) = √(25 + 4 + 1) = √30

Теперь мы можем подставить значения в формулу cos(θ):

cos(θ) = 17 / (√74 * √30)

Чтобы найти угол θ, мы можем использовать обратную функцию косинуса (arccos) на нашем калькуляторе или в программе для вычислений:

θ = arccos(17 / (√74 * √30))

После подстановки значений в калькулятор, мы получим приближенное значение угла θ.