Question

длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию объем параллелепипеда равен 216 м в кубе , а сумма длин всех его ребер равен 104м. Найдите измерения параллелепипеда

Answer 1

Не нарушая общности, пусть а- ширина, аb - длина, ab^2- высота. Тогда объем равен 

a*a*b*a*b*b=216

a^3*b^3=216. Извлечем кубический корень.

a*b=6 (1)

 

Ребра, отвечающие за ширину - их 4 штуки, ребра, отвечающие за длину - их 4 штуки, и ребер за высоту - 4 штуки.

Сумма ребер будет равна

4*(a+a*b+a*b^2)=104. Делим обе части на 4.

a+a*b+a*b^2=26.

a*(1+b+b^2)=26 (2)

Выразим a из (1) и подставим в (2).

6/b*(1+b+b^2)=26.

Делим обе части на 2.

3/b*(1+b+b^2)=13.

Так как b не равен 0, то умножим обе части на b.

3+3b+3b^2=13b

3b^2-10b+3=0

D=100-4*3*3=64=8^2

b_1=(10-8)\6

b_1=1\3.

b_2=(10+8)\6

b_2=3

Тогда a_1=6\b_1=6\(1\3)=18

a_2=6\b_2=6\3=2.

Получается две пары ответов:

1) a_1=18 - ширина, a_1*b_1=18/3=6 - длина, a_1*b_1*b_1=18/3/3=2 - высота.

2) a_2=2 -ширина, a_2*b_2=2*3=6 - длина, a_1*b_1*b_1=2*3*3=18 - высота.

Answer 2

Пусть длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q. Тогда длина будет a, ширина будет a*q, а высота будет a*q^2.

Таким образом, объем параллелепипеда равен a*(a*q)*(a*q^2) = a^3*q^3, что равно 216 м в кубе. Это дает уравнение a^3*q^3 = 216.

Также известно, что сумма длин всех ребер равна 2*(a + a*q + a*q^2) = 104 м.

Мы можем решить систему уравнений для a и q. Например, можно выразить a из второго уравнения и подставить его в первое уравнение, чтобы найти значение q. Затем можно использовать найденное значение q, чтобы найти значение a.

После нахождения a и q можно найти длину, ширину и высоту параллелепипеда, используя найденные значения a и q.