Question

Определи, чему равен свободный член квадратного уравнения x^2-5x+k=0, если сумма квадратов его корней равна 97.

Answer 1

Ответ:-36

Объяснение:x²-5x+k=0

x₁²+x₂²=97

(x₁²+x₂²+2x₁x₂) -2x₁x₂=97

(x₁+x₂)²-2x₁x₂=97

о теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, поэтому с обратным знаком, т.е.  x₁+x₂= -(-5)=5

5²-2x₁x₂=97

25-2x₁x₂=97

-2x₁x₂=97-25

-2x₁x₂=72

x₁x₂=72:(-2)

x₁x₂=-36

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равен свободному члену, т.е. х₁х₂=k

k= -36

Answer 2

Данное квадратное уравнение имеет формулу вида:

x^2 - 5x + k = 0

Чтобы найти значение свободного члена (k), мы знаем, что сумма квадратов корней равна 97.

Сумма квадратов корней (x1 и x2) равна (x1)^2 + (x2)^2.

По формуле Виета, сумма корней (x1 и x2) равна -b/a, где a и b - коэффициенты уравнения. В данном случае коэффициент a равен 1, а коэффициент b равен -5.

Таким образом, сумма квадратов корней равна (-b/a)^2:

(x1)^2 + (x2)^2 = (-b/a)^2

Подставляя значения коэффициентов, получаем:

(x1)^2 + (x2)^2 = (-(-5)/1)^2 = (5)^2 = 25

Так как сумма квадратов корней равна 97, то мы можем записать следующее уравнение:

(x1)^2 + (x2)^2 = 97

Из этого уравнения мы можем выразить один из корней через другой. Допустим, x1 = a, тогда x2 = 5 - a.

Подставим значения корней в уравнение:

(a)^2 + (5 - a)^2 = 97

(a^2) + (25 - 10a + a^2) = 97

2(a^2) - 10a + 25 = 97

2(a^2) - 10a + 25 - 97 = 0

2(a^2) - 10a - 72 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае a = 2, b = -10, c = -72.

D = (-10)^2 - 4(2)(-72)

D = 100 + 576

D = 676

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня.

Используя формулу корней, мы можем найти значения корней:

x1 = (-b + √D) / (2a)

x2 = (-b - √D) / (2a)

x1 = (-(-10) + √676) / (2(2)) = (10 + 26) / 4 = 36 / 4 = 9

x2 = (-(-10) - √676) / (2(2)) = (10 - 26) / 4 = -16 / 4 = -4

Теперь, чтобы найти значение свободного члена (k), мы можем использовать один из корней и подставить его в исходное уравнение:

x^2 - 5x + k = 0

Подставляем x = 9:

(9)^2 - 5(9) + k = 0

81 - 45 + k = 0

36 + k = 0

k = -36

Таким образом, свободный член (k) квадратного уравнения x^2 - 5x + k = 0 равен -36.