Question

Упростите выражение (1 - cos^2 (90° - a))/(1 - sin^2 (90° - a))

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\frac{1-Cos^{2} (90^\circ-\alpha ) }{1-Sin^{2}(90^\circ-\alpha )} =\frac{1-Sin^{2} \alpha }{1-Cos^{2} \alpha } =\frac{Cos^{2} \alpha }{Sin^{2} \alpha } =Ctg^{2} \alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств

Первым шагом мы можем заметить, что выражение содержит синусы и косинусы суммы двух углов. Мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

Тригонометрическое тождество синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Тригонометрическое тождество косинуса двойного угла: cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Шаг 2: Применение тригонометрических тождеств

Применим тригонометрические тождества к нашему выражению:

Выражение: (1 - cos^2(90° - a))/(1 - sin^2(90° - a))

Заменим sin^2(90° - a) и cos^2(90° - a) с использованием тождеств:

Выражение: (1 - cos^2(90° - a))/(1 - sin^2(90° - a)) = (1 - cos^2(90° - a))/(1 - (1 - cos^2(90° - a))) = (1 - cos^2(90° - a))/cos^2(90° - a)

Шаг 3: Упрощение выражения

Разделим числитель и знаменатель на cos^2(90° - a):

Выражение: (1 - cos^2(90° - a))/cos^2(90° - a) = 1/cos^2(90° - a) - cos^2(90° - a)/cos^2(90° - a) = 1/cos^2(90° - a) - 1

Шаг 4: Использование тригонометрического тождества

Мы можем заметить, что 1/cos^2(90° - a) представляет собой секанс^2(90° - a), поскольку секанс(θ) = 1/cos(θ):

Выражение: 1/cos^2(90° - a) - 1 = sec^2(90° - a) - 1

Ответ

Таким образом, упрощенное выражение (1 - cos^2(90° - a))/(1 - sin^2(90° - a)) равно sec^2(90° - a) - 1.