Question

У лидера команды есть 14 заявок с приближающимися сроками выполнения. В его распоряжении девять разработчиков. Сколькими способами руководитель группы может назначать заявки разработчикам, если каждый разработчик должен получить хотя бы одну заявку, чтобы не остаться без работы? Нет необходимости различать билеты, важно только количество билетов.

Answer 1

Ответ:

126 способов

Объяснение:

Так как каждому работнику нужна, хотя бы одна заявка:

14 - 9 * 1 = 5

Осталось пять заявок, которые мы должны распределить между девятью разработчиками. Пользуясь формулой мы находим все способы это сделать.

Формула для нахождения "числа сочетаний"

$C = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - где число (людей) "n" - это число между которыми нужно распределить определённое число (заявок) "k"

Вот что мы получаем при подстановке:

$\frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9*8*7*6*5!}{5!*4!} = \frac{9*8*7*6}{4!} = \frac{3024}{24} = 126$

Answer 2

Чтобы рассчитать количество способов, которыми лидер команды может распределить 14 заявок между 9 разработчиками, учитывая, что каждый разработчик должен получить хотя бы одну заявку, можно воспользоваться понятием "размещение с ограничением" или "размещение с повторением". Давайте разберемся.

Предположим, у нас есть 14 заявок и 9 разработчиков. Мы хотим распределить эти 14 заявок среди 9 разработчиков так, чтобы каждый разработчик получил хотя бы одну заявку.

Для начала, мы можем выделить по одной заявке для каждого разработчика. Теперь у нас осталось распределить оставшиеся \(14 - 9 = 5\) заявок.

Мы можем представить оставшиеся 5 заявок как "перегородки" между заявками, которые уже были выделены для каждого разработчика. Имеем 8 промежутков между 9 заявками (по одному для каждого разработчика) и 5 оставшимися заявками:

\[ \_\_|\_\_|\_\_|\_\_|\_\_|\_\_|\_\_|\_\_|\_\_|\]

Теперь нам нужно разместить 5 "перегородок" среди 8 промежутков. Это можно сделать по формуле сочетаний с повторениями:

\[ C(n + r - 1, r) \]

где \(n\) - количество промежутков (8), \(r\) - количество "перегородок" (5).

\[ C(8 + 5 - 1, 5) = C(12, 5) \]

Подставим значения:

\[ C(12, 5) = \frac{12!}{5! \cdot (12 - 5)!} \]

\[ C(12, 5) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Вычислим:

\[ C(12, 5) = 792 \]

Таким образом, лидер команды может назначить заявки разработчикам 792 различными способами, удовлетворяя условию, что каждый разработчик должен получить хотя бы одну заявку.