Question

Помогите срочно! нужно решить задачу Коши дифференциальным методом!! x'-x=t^2, x(0)=0, x'(0)=1

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol {x(t)=2e^t-t^2-2t -2}$

Объяснение:

Здесь условие  x'(0)=1 лишнее.

Решаем без него.

Умножим все части уравнения на   $\displaystyle \boldsymbol {e^{-t}}$

$\displaystyle x'e^{-t}-e^{-t}*x=e^{-t}*t^2\qquad [\;-e^{-t}= (e^{-t})'\; ]\\\\\\x'e^{-t}+(e^{-t})'*x=e^{-t}*t^2\\\\\\(x*e^{-t})' = e^{-t}*t^2\\\\\\\int(x*e^{-t})'dt = \int e^{-t}*t^2\;dt\\\\\\x*e^{-t} = \int e^{-t}*t^2 \;dt$

Теперь будем разбираться с интегралом в правой части уравнения

$\displaystyle \int {t^2e^{-t}} \, dt =\left[\begin{array}{ccc}f=t^2&&df = 2tdt\\&&\\dg=e^{-t}dt&&g=-e^{-t}\end{array}\right] =-e^{-t}t^2+2\int e^{-t}\; dt=\\\\\\=-t^2e^{-t}+2\left[\begin{array}{ccc}f=t&&df=dt\\&&\\dg=e^{-t}dt&&g =-e^{-t}\end{array}\right] =-t^2e^{-t}-2te^{-t}+2\int e^{-t}\;dt=\\\\\\=-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}+C=-e^{-t}\bigg(t^2+2t+2\bigg)+C$

В результате мы получили

$\displaystyle xe^{-t} = e^{-t}\bigg(-t^2-2t-2\bigg)+C\\\\x=-t^2-2t-2+Ce^t\\\\x= (0) = 0\\\\0=-0^2-2*0-2+C*e^0\\\\C=2\\\\\boxed {x(t)=2e^t-t^2-2t -2}$

#SPJ1

Answer 2

Для решения задачи Коши с дифференциальным методом, мы будем использовать метод Эйлера.

Задача Коши имеет вид: x' - x = t^2, x(0) = 0, x'(0) = 1.

Шаги для решения методом Эйлера:

1. Задаем шаг h, который определяет, как часто мы будем вычислять значения функции x(t) и ее производной. 2. Используя начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 1, находим первое значение x(0+h) и x'(0+h). 3. Продолжаем итерации, используя следующие формулы: x(t+h) = x(t) + h * x'(t) x'(t+h) = x'(t) + h * (t^2 + x(t))

Пример: Допустим, мы выбрали шаг h = 0.1. Тогда, используя начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 1, находим первое значение: x(0.1) = x(0) + h * x'(0) = 0 + 0.1 * 1 = 0.1 x'(0.1) = x'(0) + h * (t^2 + x(0)) = 1 + 0.1 * (0^2 + 0) = 1

Продолжаем итерации: x(0.2) = x(0.1) + h * x'(0.1) = 0.1 + 0.1 * 1 = 0.2 x'(0.2) = x'(0.1) + h * (t^2 + x(0.1)) = 1 + 0.1 * (0.1^2 + 0.1) = 1.01

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем нужного значения t.

Например, если мы хотим найти значения x(t) и x'(t) в точке t = 1, то мы будем продолжать итерации, пока t не достигнет 1.

Это пример решения задачи Коши с дифференциальным методом, используя метод Эйлера.