Question

Найдите все целые n, при которых n2−n+3 делится на n+1

Answer 1

Ответ:

при n= -6; -2; 0; 4.

Объяснение:

...................

Answer 2

Для того чтобы найти все целые значения n, при которых $n^2 - n + 3$ делится на $n + 1$, давайте воспользуемся делением с остатком (теоремой о делении с остатком).

Мы хотим найти такие n, что $n^2 - n + 3$ делится на $n + 1$. Таким образом, у нас должно быть равенство:

$$n^2 - n + 3 = k \cdot (n + 1),$$

где k - некоторое целое число.

Раскроем скобки и перегруппируем:

$$n^2 - n + 3 = kn + k.$$

Теперь преобразуем это уравнение:

$$n^2 - (k + 1)n + 3 - k = 0.$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для того чтобы это уравнение имело целочисленные корни, его дискриминант должен быть полным квадратом целого числа. Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 1$, $b = -(k + 1)$ и $c = 3 - k$. Таким образом, дискриминант будет:

$$D = (-(k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - k) = (k + 1)^2 - 4(3 - k) = k^2 + 2k + 1 - 12 + 4k = k^2 + 6k - 11.$$

Чтобы $D$ был полным квадратом целого числа, выразим $k$ через $D$:

$$D = m^2 \quad \text{для некоторого целого } m.$$

Получаем уравнение:

$$k^2 + 6k - 11 = m^2.$$

Теперь мы можем попробовать различные значения $m$ и найти соответствующие значения $k$, которые делают $k^2 + 6k - 11$ полным квадратом. Затем для каждого найденного значения $k$ можно найти соответствующее значение $n$ с помощью изначального уравнения $n^2 - n + 3 = kn + k$.

Попробуем несколько значений $m$ и найдем соответствующие значения $k$:

1. Если $m = 0$, то $k^2 + 6k - 11 = 0$. Это уравнение не имеет целых корней.

2. Если $m = 1$, то $k^2 + 6k - 11 = 1$. Это уравнение имеет два целых корня: $k = 3$ и $k = -4$.

3. Если $m = -1$, то $k^2 + 6k - 11 = 1$. Это уравнение также имеет два целых корня: $k = 3$ и $k = -4$.

Итак, у нас есть два значения $k$ (3 и -4), при которых $k^2 + 6k - 11$ является полным квадратом. Теперь найдем соответствующие значения $n$ для каждого из них:

1. Для $k = 3$:

$$n^2 - (3 + 1)n + 3 - 3 = 0,$$

или

$$n^2 - 4n = 0.$$

Это уравнение имеет два корня: $n = 0$ и $n = 4$.

2. Для $k = -4$:

$$n^2 - (-4 + 1)n + 3 + 4 = 0,$$

или

$$n^2 + 3n + 7 = 0.$$