Question

Срочно!Cos(pi/6-x)=-√3/2 розвязати рівняння

Answer 1

Решить уравнение cos(π/6-x)=-√3/2.

Ответ:

x₁=π+2πn, n ∈ Z  и  x₂=(-2π/3)+2πn, n ∈ Z.

Объяснение:

Уравнение вида cos x = b, где -1≤b≤1 решается следующим образом:

x=±arccos b + 2πn, n ∈ Z. Применяем это в нашем уравнении:

$\Large \boldsymbol {} \cos(\frac{\pi }{6} -x)=-\frac{\sqrt{3} }{2} \\\\\frac{\pi }{6} -x=\pm \arccos (-\frac{\sqrt{3} }{2})+2\pi n, n \in \mathbb Z$

arccos (-x) = π - arccos x

$\Large \boldsymbol {}\frac{\pi }{6} -x=\pm(\pi - \arccos \frac{\sqrt{3} }{2})+2\pi n, n \in \mathbb Z\\\\\frac{\pi }{6} -x=\pm(\pi - \frac{\pi }{6})+2\pi n, n \in \mathbb Z\\\\\frac{\pi }{6} -x=\pm\frac{5\pi }{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z\\\\-x=\pm \frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{6} +2\pi n, n \in \mathbb Z\\\\x=\pm \frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{6} -2\pi n, n \in \mathbb Z$

Отнимать 2πn или прибавлять - значения не имеет, так как это период функции. Убираем ± и записываем два корня

$\Large \boldsymbol {}x_1= \frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{6} +2\pi n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=- \frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{6} +2\pi n \\\\x_1=\pi +2\pi n, n \in \mathbb Z \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=-\frac{2\pi }{3} +2\pi n, n \in \mathbb Z$

Answer 2

$cos(\frac{\pi }{6} -x)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$

-----------------------------

$cos(\alpha )=a$

$a=$±$arccos(a)+2\pi$k           ====>

k є Z

-----------------------------

arccos(-√3/2)=$\frac{5\pi }{6}$

==> $x-\frac{\pi }{6} =$±$\frac{5}{6} \pi +2\pi$k =>

=> $x=\frac{5}{6} \pi +2\pi$k+$\frac{\pi }{6} .$

Answer 3

Щоб розв'язати рівняння Cos(pi/6-x) = -√3/2, спочатку давайте визначимо значення x, для якого це рівняння буде справедливим.

Косинус є тригонометричною функцією, яка повертає значення катета прилеглого до кута, поділеного на гіпотенузу прямокутного трикутника. Значення косинуса знаходяться в діапазоні між -1 і 1.

Зауважимо, що Cos(pi/6) = √3/2. Таким чином, наше рівняння можна переписати в наступному вигляді: Cos(pi/6)Cos(x) + Sin(pi/6)Sin(x) = -√3/2.

Використовуючи формулу косинуса суми, ми можемо спростити це рівняння: Cos(pi/6)Cos(x) + Sin(pi/6)Sin(x) = Cos(pi/6 + x) = -√3/2.

За допомогою тригонометричного ідентичності, ми знаємо, що Cos(pi/6 + x) = Cos(pi/6)Cos(x) - Sin(pi/6)Sin(x). Тому ми можемо записати нове рівняння: Cos(pi/6)Cos(x) - Sin(pi/6)Sin(x) = -√3/2.

Тепер ми можемо порівняти два рівняння:

Cos(pi/6 + x) = -√3/2, Cos(pi/6)Cos(x) - Sin(pi/6)Sin(x) = -√3/2.

Зауважимо, що обидва рівняння мають однакові праві частини, тому їх ліві частини також мають бути однаковими.

Cos(pi/6 + x) = Cos(pi/6), Cos(pi/6)Cos(x) - Sin(pi/6)Sin(x) = Cos(pi/6).

За допомогою тригонометричних ідентичностей, ми можемо записати наступні спрощені рівняння:

Cos(pi/6 + x) = Cos(pi/6), √3/2 * Cos(x) - 1/2 * Sin(x) = √3/2.

Тепер ми можемо розв'язати ці рівняння.

З першого рівняння, Cos(pi/6 + x) = Cos(pi/6), ми можемо скористатися тригонометричною ідентичністю, що косинус є функцією періодичною з періодом 2π. Тому ми можемо записати:

pi/6 + x = 2πn ± pi/6, де n - ціле число.

Зауважимо, що pi/6 + x = 2πn + pi/6 або pi/6 + x = 2πn - pi/6.

Таким чином, ми отримуємо два рівняння:

x = 2πn ± pi/6 - pi/6, та x = 2πn ± pi/6 + pi/6.

Спрощуючи ці рівняння, ми отримуємо:

x = 2πn, x = 2πn ± pi/3.

Тепер ми переходимо до другого рівняння, √3/2 * Cos(x) - 1/2 * Sin(x) = √3/2. За допомогою тригонометричних ідентичностей, ми можемо записати:

√3/2 * Cos(x) - 1/2 * Sin(x) = √3/2, 2 * √3/2 * Cos(x) - √3/2 * Sin(x) = √3.

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

√3 * Cos(x) - √3/2 * Sin(x) = √3.

Застосовуючи тригонометричну ідентичність, що Sin(π/6) = 1/2 та Cos(π/6) = √3/2, ми можемо записати:

√3 * Cos(x) - Sin(π/6) * Sin(x) = √3.

За допомогою тригонометричної ідентичності, що Sin(A - B) = Sin(A) * Cos(B) - Cos(A) * Sin(B), ми можемо записати:

√3 * Cos(x) - Sin(π/6) * Sin(x) = √3 * (Cos(π/6) * Cos(x) + Sin(π/6) * Sin(x)).

Застосовуючи значення Sin(π/6) = 1/2 та Cos(π/6) = √3/2, ми отримуємо:

√3 * Cos(x) - 1/2 * Sin(x) = √3 * (√3/2 * Cos(x) + 1/2 * Sin(x)).

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

√3 * Cos(x) - 1/2 * Sin(x) = 3/2 * Cos(x) + 1/2 * Sin(x).

Переносимо всі терміни, що містять Cos(x) на одну сторону, а всі терміни, що містять Sin(x) на іншу сторону:

√3 * Cos(x) - 3/2 * Cos(x) = 1/2 * Sin(x) + 1/2 * Sin(x).

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

1/2 * Cos(x) = Sin(x).

Тепер ми можемо використати тригонометричну ідентичність, що Cos(x) = Sin(π/2 - x):

1/2 * Sin(π/2 - x) = Sin(x).

Зауважимо, що тепер ми отримали рівняння з однією змінною Sin(x). Ми можемо розв'язати його, знаходячи значення x, для якого Sin(x) = 1/2.

За допомогою таблиці значень тригонометричних функцій, ми бачимо, що Sin(x) = 1/2 має два розв'язки:

x = π/6 + 2πn, де n - ціле число, x = 5π/6 + 2πn, де n - ціле число.

Отже, ми отримали два набори розв'язків для рівняння Cos(pi/6-x) = -√3/2:

x = 2πn або x = 2πn ± π/3, де n - ціле число, x = π/6 + 2πn або x = 5π/6 + 2πn, де n - ціле число.

Це є подробний розв'язок рівняння.