Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=4х² и у=12х​

Answer 1

Ответ:

площадь фигуры равна 18 кв. ед.

Объяснение:

Прежде всего делаем чертеж.

Из чертежа получаем фигуру и пределы интегрирования, определяем y₁(x) и  y₂(x) и используем формулу Ньютона-Лейбница

$\displaystyle S=\int\limits^a_b {\bigg(y_1(x)-y_2(x)\bigg)} \, dx$

За y₁(x) обычно принимают функцию, график которой лежит "выше" на координатной плоскости.

В нашем случае получаем:

а = 3

b = 0

y₁(x) = 12х

y₂(x) = 4х²

Считаем площадь

$\displaystyle S=\int\limits^3_0{(12x-4x^2)} \, dx =12\frac{x^2}{2} \bigg|_0^3-4\frac{x^3}{3} \bigg|_0^3=54-36=18$

#SPJ1

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения, затем определить границы интегрирования, и, наконец, вычислить определенный интеграл.

В данном случае у нас есть две функции, ограничивающие фигуру: \(y = 4x^2\) и \(y = 12x\). Сначала найдем точки их пересечения, решив уравнение \(4x^2 = 12x\):

\[4x^2 - 12x = 4x(x - 3) = 0\]

Это уравнение имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = 3\). Таким образом, интегрирование будет проводиться от \(x = 0\) до \(x = 3\).

Теперь выражение для площади между кривыми будет:

\[S = \int_{0}^{3} (12x - 4x^2) \,dx\]

Вычислим этот интеграл. Для этого найдем первообразные обоих слагаемых:

\[\int (12x) \,dx = 6x^2\]

\[\int (4x^2) \,dx = \frac{4}{3}x^3\]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[S = \left[6x^2 - \frac{4}{3}x^3\right]_{0}^{3}\]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[S = \left[6(3)^2 - \frac{4}{3}(3)^3\right] - \left[6(0)^2 - \frac{4}{3}(0)^3\right]\]

\[S = \left[54 - 36\right] - \left[0\right] = 18\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками \(y = 4x^2\) и \(y = 12x\), равна 18 квадратным единицам.