Question

До графіка функції f(x)=x^2+3x-7 складіть рівняння дотичної, яка паралельна прямій y=7x

Answer 1

Ответ:

y= 7x - 11 - уравнение касательной.

Объяснение:

К графику функции f(x) =x² + 3x - 7 проведена касательная, параллельная прямой y= 7x.

Если касательная параллельна прямой, то их угловые коэффициенты равны, то есть k=7

По геометрическому смыслу производной  k= f'(a), где  a - абсцисса точки касания.

Найдем производную функции f'(x) =(x² + 3x - 7)'= 2x +3.

Тогда найдем абсциссу точки касания.

2x+3 =7;

2x =7 -3;

2x =4;

x =4:2 ;

x = 2.

Значит, а =2.

Уравнение касательной в общем виде: y = f (a) + f '(a) (x - a)

f( 2) = 2² +3·2 - 7 =4 +6 - 7= 10-7= 3;

y= 3+ 7 (x - 2) =3+ 7x - 14 = 7x- 11.

y= 7x - 11 - уравнение касательной.

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = x^2 + 3x - 7\), яка паралельна прямій \(y = 7x\), спочатку визначимо похідну функції \(f(x)\). Похідна визначає нахил кривої в кожній точці.

\[ f'(x) = 2x + 3 \]

Тепер ми шукаємо точку дотику, тобто ту точку \(x_0\) де \(f'(x_0)\) дорівнює нахилу прямої \(y = 7x\), а це 7.

\[ 2x_0 + 3 = 7 \]

Розв'язавши це рівняння, ми отримаємо \(x_0 = 2\).

Тепер підставимо це значення \(x_0\) у функцію \(f(x)\), щоб знайти відповідне \(y_0\):

\[ y_0 = f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 - 7 = 4 + 6 - 7 = 3 \]

Таким чином, точка дотику \(P\) має координати \((2, 3)\).

Тепер ми можемо скористатися формулою рівняння дотичної у точці \((x_0, y_0)\):

\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]

де \(m\) - нахил дотичної. Оскільки дотична паралельна прямій \(y = 7x\), то її нахил також буде 7. Таким чином, підставимо значення відомих величин і отримаємо рівняння дотичної:

\[ y - 3 = 7(x - 2) \]

Розгорнемо і спростимо це рівняння:

\[ y - 3 = 7x - 14 \]

\[ y = 7x - 11 \]

Отже, рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = x^2 + 3x - 7\), яка паралельна прямій \(y = 7x\), є \(y = 7x - 11\).