Question

Найдите множество корней уравнения, заменив его равносильной системой или совокупностью уравнений: д) (x^2-4)^2+(x^2-4x+4)^2=0 ж) (x^2-5х) (3х-4) (х+18)=0

Answer 1

Д: x^2-4)^2 = (x^2-2^2)^2 = (x+2)(x-2)(x+2)(x-2) = (x+2)^2(x-2)^2
(x^2-4x+4)^2 = (x-2)^2(x-2)^2 = (x-2)^4

(x+2)^2(x-2)^2 + (x-2)^4 = 0
x=-2 и x=2.

ж: x^2 - 5x = x(x-5)
3x-4 = 0 => x=4/3
x+18 = 0 => x=-18

Значит, множество корней уравнения состоит из трех чисел: x=0, x=4/3 и x=-18.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение (д):

\[(x^2 - 4)^2 + (x^2 - 4x + 4)^2 = 0\]

Обратите внимание, что слагаемые в квадратных скобках являются полными квадратами. Пусть \(a = x^2 - 4\), тогда уравнение примет вид:

\[a^2 + (a - 4)^2 = 0\]

Раскроем скобки:

\[a^2 + a^2 - 8a + 16 = 0\]

Сгруппируем подобные члены:

\[2a^2 - 8a + 16 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение относительно \(a\):

\[a^2 - 4a + 8 = 0\]

Применим квадратное уравнение:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 8 = 16 - 32 = -16\]

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней. Однако, он имеет комплексные корни. Решение будет в виде:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

где \(b = -4\), \(a = 1\), и \(D = -16\).

\[a = \frac{4 \pm i \sqrt{16}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2}\]

Таким образом, комплексные корни:

\[a_1 = 2 + 2i\]

\[a_2 = 2 - 2i\]

Теперь заменим обратно \(a\) на \(x^2 - 4\):

\[x^2 - 4 = 2 + 2i\]

\[x^2 = 6 + 2i\]

\[x = \pm \sqrt{6 + 2i}\]

или

\[x^2 - 4 = 2 - 2i\]

\[x^2 = 6 - 2i\]

\[x = \pm \sqrt{6 - 2i}\]

Таким образом, множество корней для уравнения (д) - это четыре комплексных числа:

\[x = \sqrt{6 + 2i}, -\sqrt{6 + 2i}, \sqrt{6 - 2i}, -\sqrt{6 - 2i}\]

Уравнение (ж):

\[(x^2 - 5x) + (3x - 4) + (x + 18) = 0\]

Сгруппируем подобные члены:

\[x^2 - 5x + 3x + x - 4 + 18 = 0\]

\[x^2 - x + 14 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение относительно \(x\):

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 1 - 56 = -55\]

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения (ж) нет действительных корней. Однако, он имеет комплексные корни. Решение будет в виде:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

где \(b = -1\), \(a = 1\), и \(D = -55\).

\[x = \frac{1 \pm i \sqrt{55}}{2}\]

Таким образом, множество корней для уравнения (ж) - это два комплексных числа:

\[x = \frac{1 + i \sqrt{55}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{55}}{2}\]

Итак, множества корней для уравнений (д) и (ж) включают комплексные числа.