Question

При яких значеннях параметра a рівняння sin2x = a + 1 має розв'язки знайдіть ці розв'язки.​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі, ми повинні спочатку перетворити рівняння sin2x = a + 1 у форму, в якій ми можемо знайти значення параметра a, для яких воно має розв'язки.

Ми можемо скористатися тригонометричним тотожністю для sin2x: sin2x = 2sinxcosx.

Тоді рівняння sin2x = a + 1 можна переписати як 2sinxcosx = a + 1.

Далі, ми можемо використати тригонометричну тотожність для добутку sinxcosx: sinxcosx = 1/2 sin2x.

Тоді рівняння 2sinxcosx = a + 1 можна переписати як sin2x = (a + 1)/2.

З цього випливає, що рівняння sin2x = a + 1 має розв'язки, коли (a + 1)/2 знаходиться в діапазоні від -1 до 1, оскільки значення sin2x належать цьому діапазону.

Отже, ми маємо нерівність -1 ≤ (a + 1)/2 ≤ 1, яку ми можемо розв'язати для параметра a:

-1 ≤ (a + 1)/2 ≤ 1

-2 ≤ a + 1 ≤ 2

-3 ≤ a ≤ 1

Тому розв'язки рівняння sin2x = a + 1 залежать від значення параметра a в діапазоні [-3, 1].

Щоб знайти ці розв'язки, ми можемо використовувати різні методи, такі як метод графіків або чисельне інтегрування.

Answer 2

Рівняння \( \sin(2x) = a + \frac{1}{a} \) має розв'язки при певних значеннях параметра \( a \). Давайте розглянемо це детальніше.

Почнемо зі спрощення рівняння \( \sin(2x) = a + \frac{1}{a} \). Замінимо \( \sin(2x) \) за допомогою тригонометричного тотожніку:

\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

Отже, ми отримаємо:

\[ 2 \sin(x) \cos(x) = a + \frac{1}{a} \]

Тепер розділимо обидві сторони на 2:

\[ \sin(x) \cos(x) = \frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \]

Використовуючи тригонометричний тотожник \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), ми можемо переписати це рівняння:

\[ \sin(2x) = \frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \]

Тепер наше рівняння стало дещо простішим. Щоб знайти його розв'язки, ми можемо взяти \( \sin^{-1} \) обидві сторони:

\[ 2x = \sin^{-1}\left(\frac{a}{2} + \frac{1}{2a}\right) \]

Тепер можемо виразити \( x \):

\[ x = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{a}{2} + \frac{1}{2a}\right) \]

Це є загальний вираз для розв'язків рівняння. Щоб з'ясувати при яких значеннях параметра \( a \) це рівняння має розв'язки, слід врахувати область визначення оберненої синус-функції (тобто, \(-1 \leq \frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \leq 1\)). Також важливо враховувати, що обернена синус-функція має область значень від \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\).

Звідси можна вивести умови для параметра \( a \), при яких рівняння має розв'язки. Однак, без конкретних числових значень для \( a \) важко надати більш конкретну відповідь.