Question

точка рухається по прямій так що її швидкість у момент часу t дорівнює v(t)=3t+2. Знайдіть шлях пройдений точкою за проміжок часу від t1=1с до t2=3с (швидкість вимірюється у метрах на секунду)

Answer 1

Ответ: s(t)=16 м.

Объяснение:

v(t)=3t+2 м/с   t₁=1 c    t₂=3 c.  

$\displaystyle\\s(t)=\int\limits^3_1(3t+2) \, dx =(\frac{3t^2}{2} +2t)|_1^3=\frac{3*3^2}{2}+2*3-(\frac{3*1^2}{2} +2*1)=\\\\=\frac{3*9}{2}+6-\frac{3*1}{2} -2=\frac{27-3}{2}+4=\frac{24}{2}+4 =12+4=16.$

Answer 2

Щоб знайти шлях пройдений точкою протягом проміжку часу від \( t_1 = 1 \) с до \( t_2 = 3 \) с, вам потрібно інтегрувати функцію швидкості від \( t_1 \) до \( t_2 \).

Функція швидкості задана як \( v(t) = 3t + 2 \). Щоб знайти шлях (відстань), вам потрібно знайти визначений інтеграл функції швидкості від \( t_1 \) до \( t_2 \):

\[ S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt \]

Підставимо функцію швидкості \( v(t) = 3t + 2 \):

\[ S = \int_{1}^{3} (3t + 2) \, dt \]

Інтегруємо відносно \( t \):

\[ S = \int_{1}^{3} 3t \, dt + \int_{1}^{3} 2 \, dt \]

\[ S = \left[ \frac{3}{2}t^2 \right]_{1}^{3} + \left[ 2t \right]_{1}^{3} \]

Тепер підставимо верхню інтервальну межу та віднімемо значення при нижній межі:

\[ S = \left( \frac{3}{2}(3)^2 + 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{3}{2}(1)^2 + 2 \cdot 1 \right) \]

\[ S = \left( \frac{27}{2} + 6 \right) - \left( \frac{3}{2} + 2 \right) \]

\[ S = \frac{33}{2} - \frac{7}{2} \]

\[ S = \frac{26}{2} \]

\[ S = 13 \]

Отже, шлях, пройдений точкою протягом проміжку часу від \( t_1 = 1 \) с до \( t_2 = 3 \) с, дорівнює 13 метрам.